A função
satisfaz a equação
. Sabendo que o valor da primeira derivada para
é 12, determine o valor das constantes
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função onde
e
são números reais. A função precisa satisfazer a equação diferencial
. Além disso, sabemos que a primeira derivada de
em
é igual a 12. Nosso objetivo é encontrar os valores de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação diferencial
. Isso significa que a segunda derivada da função mais 4 vezes a função é igual a zero. Para resolver isso, precisamos calcular as derivadas da nossa função .
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada de
. A derivada de em relação a
é
. Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada de
. A derivada de
é . Portanto,
Passo 5
Substituímos
e
na equação diferencial
:
Podemos fatorar :
Passo 6
Para que a equação seja válida para todo
, o fator que multiplica deve ser zero. Ou seja,
Como
é real, temos duas possibilidades:
ou
.
Passo 7
Agora, vamos usar a informação adicional: a primeira derivada em
é 12. Vamos calcular
:
Sabemos que
, então:
Passo 8
Vamos considerar as duas possibilidades para
:
- Se
:
- Se
:
Resposta
Os valores das constantes são:
-
e
ou
-
e