A função f(x) = A sen(k x), A, k in R satisfaz a equação f'' + 4 f = 0. Sabendo que o valor da primeira derivada para x = 0 é 12, determine o valor das constantes A e k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função onde e são números reais. A função precisa satisfazer a equação diferencial . Além disso, sabemos que a primeira derivada de em é igual a 12. Nosso objetivo é encontrar os valores de e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação diferencial . Isso significa que a segunda derivada da função mais 4 vezes a função é igual a zero. Para resolver isso, precisamos calcular as derivadas da nossa função .

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada de . A derivada de em relação a é . Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada de . A derivada de é . Portanto,

Passo 5

Substituímos e na equação diferencial :
Podemos fatorar :

Passo 6

Para que a equação seja válida para todo , o fator que multiplica deve ser zero. Ou seja,
Como é real, temos duas possibilidades: ou .

Passo 7

Agora, vamos usar a informação adicional: a primeira derivada em é 12. Vamos calcular :
Sabemos que , então:

Passo 8

Vamos considerar as duas possibilidades para :
  1. Se :
  1. Se :

Resposta

Os valores das constantes são:
  • e
ou
  • e

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