Suponha que a proporção P de pessoas afetadas por certa doença seja descrita por
ln(P/(1-P)) = 0,5 t
onde t é o tempo em meses.
(b) Determine a taxa segundo o qual P cresce 2 meses após o início da doença sabendo-se que, neste período, aproximadamente 75 % da população está infectada. O que este resultado significa em termos práticos?

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício pede. Temos uma equação que relaciona a proporção de pessoas afetadas por uma doença com o tempo em meses:
O conteúdo que estamos estudando aqui envolve funções logísticas e taxas de variação. Para resolver esse exercício, vamos precisar calcular a derivada de em relação ao tempo , ou seja, , no momento em que meses e .

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a derivação. Sabemos que:
Para encontrar em função de , podemos isolar . Vamos fazer isso exponenciando ambos os lados:
Agora, multiplicamos ambos os lados por :
Distribuindo o :
Agora, somamos em ambos os lados para isolar :
Fatorando :
Finalmente, isolamos :

Passo 3

Agora que temos em função de , vamos encontrar a derivada . A fórmula de é uma função logística, cuja derivada é conhecida por:
Onde é a constante de crescimento, no nosso caso, .

Passo 4

Vamos aplicar essa fórmula usando os valores fornecidos no exercício. Sabemos que no tempo meses, a proporção é aproximadamente 75%, ou seja, .
Substituindo na fórmula da derivada:
Calculando os parênteses:
Então:
Multiplicando os números:
E:

Passo 5

Portanto, a taxa de crescimento no momento em que meses e é aproximadamente 0,09375 por mês.

Resposta

A taxa de crescimento 2 meses após o início da doença é aproximadamente 0,094 por mês. Isso significa que, nesse momento, a proporção de pessoas afetadas está aumentando a uma taxa de 9,4% por mês.

Exercícios relacionados

Utilizando o teste da primeira derivada, determine os máximos e mínimos das funções dadas no exercício anterior.
A função f(x) = A sen(k x), A, k in R satisfaz a equação f'' + 4 f = 0. Sabendo que o valor da primeira derivada para x = 0 é 12, determine o valor das constantes A e k.
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções:
(g) f(x) = x - e^x.
Uma possível modelagem para a porcentagem de canadenses fumantes é dada pela função
y = 0,0292 x^2 - 1,121 x + 39
onde x é o número de anos após 1980*
© Em quais intervalos de tempo a porcentagem de fumantes no Canadá diminui e em quais aumenta?