Suponha que a proporção P de pessoas afetadas por certa doença seja descrita por
onde
é o tempo em meses.
(b) Determine a taxa segundo o qual
cresce 2 meses após o início da doença sabendo-se que, neste período, aproximadamente
da população está infectada. O que este resultado significa em termos práticos?
(b) Determine a taxa segundo o qual
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício pede. Temos uma equação que relaciona a proporção
de pessoas afetadas por uma doença com o tempo
em meses:
O conteúdo que estamos estudando aqui envolve funções logísticas e taxas de variação. Para resolver esse exercício, vamos precisar calcular a derivada de
em relação ao tempo
, ou seja,
, no momento em que
meses e
.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a derivação. Sabemos que:
Para encontrar
em função de
, podemos isolar
. Vamos fazer isso exponenciando ambos os lados:
Agora, multiplicamos ambos os lados por
:
Distribuindo o
:
Agora, somamos
em ambos os lados para isolar
:
Fatorando
:
Finalmente, isolamos
:
Passo 3
Agora que temos
em função de
, vamos encontrar a derivada
. A fórmula de
é uma função logística, cuja derivada é conhecida por:
Onde
é a constante de crescimento, no nosso caso,
.
Passo 4
Vamos aplicar essa fórmula usando os valores fornecidos no exercício. Sabemos que no tempo
meses, a proporção
é aproximadamente 75%, ou seja,
.
Substituindo na fórmula da derivada:
Calculando os parênteses:
Então:
Multiplicando os números:
E:
Passo 5
Portanto, a taxa de crescimento
no momento em que
meses e
é aproximadamente 0,09375 por mês.
Resposta
A taxa de crescimento
2 meses após o início da doença é aproximadamente 0,094 por mês. Isso significa que, nesse momento, a proporção de pessoas afetadas está aumentando a uma taxa de 9,4% por mês.
Exercícios relacionados
Utilizando o teste da primeira derivada, determine os máximos e mínimos das funções dadas no exercício anterior.
A função
satisfaz a equação
. Sabendo que o valor da primeira derivada para
é 12, determine o valor das constantes
e
.
Determine os intervalos de crescimento e decrescimento das seguintes funções:
(g) .
(g)
Uma possível modelagem para a porcentagem de canadenses fumantes é dada pela função
onde
é o número de anos após 1980*
© Em quais intervalos de tempo a porcentagem de fumantes no Canadá diminui e em quais aumenta?
© Em quais intervalos de tempo a porcentagem de fumantes no Canadá diminui e em quais aumenta?