Uma possível modelagem para a porcentagem de canadenses fumantes é dada pela função
y = 0,0292 x^2 - 1,121 x + 39
onde x é o número de anos após 1980*
(b) Esboce o gráfico desta função.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função quadrática que modela a porcentagem de canadenses fumantes ao longo dos anos após 1980. Nosso objetivo aqui é esboçar o gráfico dessa função. Para isso, vamos precisar entender alguns conceitos de funções quadráticas, como vértice, interceptações e a concavidade da parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da função quadrática que temos:
Aqui, , e . Esses valores vão nos ajudar a encontrar o vértice da parábola e a determinar se ela está voltada para cima ou para baixo.

Passo 3

Vamos achar o vértice da parábola. O vértice é o ponto mais baixo ou mais alto da parábola, dependendo da concavidade. A fórmula para encontrar a coordenada x do vértice é:
Substituindo os valores:
Agora, para encontrar a coordenada y do vértice, substituímos na função original:
Calculando:
Então, o vértice é aproximadamente .

Passo 4

Vamos determinar a concavidade da parábola. Olhando para o coeficiente de , que é , positivo. Isso significa que a parábola está voltada para cima, indicando que o vértice é o ponto de mínimo.

Passo 5

Agora, vamos encontrar as interceptações com os eixos. Primeiro, a interceptação com o eixo y ocorre quando x = 0:
Então, a interceptação com o eixo y é .
Para encontrar as interceptações com o eixo x, resolveríamos a equação . No entanto, como a parábola está voltada para cima e o valor mínimo é positivo ( ), não haverá interceptações reais com o eixo x.

Passo 6

Com todas essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • Vértice em
  • Concavidade para cima
  • Interceptação com o eixo y em
  • Sem interceptações com o eixo x

Resposta

Então, o gráfico da função é uma parábola voltada para cima, com vértice aproximadamente em e passando pelo ponto . Não há interseções com o eixo x. Com esses pontos, dá para desenhar um esboço bem legal do comportamento da porcentagem de fumantes ao longo dos anos após 1980.

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