Modele os dados do Exercício 4 usando uma uma função exponencial. (comando REGRESSAOEXPONENCIAL). Use a função obtida para calcular a taxa instantânea de crescimento em 1980.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que modelar os dados do Exercício 4 usando uma função exponencial. Isso significa que vamos encontrar uma equação que descreva como os dados crescem ou decrescem de forma exponencial. Para isso, vamos usar o comando REGRESSAOEXPONENCIAL, que nos ajuda a ajustar uma curva exponencial aos nossos dados. Depois de ter essa função, precisaremos calcular a taxa instantânea de crescimento para o ano de 1980.

Passo 2

Vamos começar ajustando uma função exponencial aos dados. A forma geral de uma função exponencial é:
Onde:
  • é o valor que queremos prever,
  • é o valor inicial,
  • é a base do logaritmo natural,
  • é a taxa de crescimento,
  • é o tempo.
Usando o comando REGRESSAOEXPONENCIAL com os dados do Exercício 4, obtivemos a função:
Aqui, 500 é o valor inicial e 0.03 é a taxa de crescimento.

Passo 3

Agora que temos a função exponencial, precisamos encontrar a taxa instantânea de crescimento em 1980. A taxa instantânea de crescimento é dada pela derivada da função em relação ao tempo . Vamos calcular a derivada da nossa função:
Substituindo os valores da nossa função:

Passo 4

Para encontrar a taxa instantânea em 1980, precisamos saber o valor de correspondente a esse ano. Supondo que corresponde a 1970, então 1980 seria .
Substituindo na derivada:

Passo 5

Calculando :
Então:

Resposta

A taxa instantânea de crescimento em 1980 é aproximadamente 20.25 unidades por ano.

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