A função de utilidade expressa a preferência do consumidor por diferentes quantidades do produto, assim, considere a seguinte função utilidade
U(q) = -2q^2 + 600q - 20000, q ≥ 0
onde q representa a quantidade de produto. Qual a quantidade que maximiza a utilidade desse produto?
(a) 150 .
(b) 120 .
© 200 .
(d) 170 .
(e) 140 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado nos apresenta uma função de utilidade que mostra a preferência de um consumidor por diferentes quantidades de um produto. A função é:
Nosso objetivo aqui é encontrar a quantidade que maximiza essa utilidade. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para identificar o ponto onde a utilidade atinge seu valor máximo.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que para encontrar o ponto de máximo da função , devemos derivar a função em relação a e igualar essa derivada a zero. A derivada nos dá a taxa de variação da utilidade em relação à quantidade, e o ponto onde essa taxa é zero indica um ponto crítico, que pode ser um máximo ou mínimo.
A função dada é:
Vamos calcular a derivada de em relação a .

Passo 3

A derivada de cada termo da função é calculada da seguinte forma:
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
  • A derivada de uma constante ( ) é .
Então, a derivada de é:

Passo 4

Agora, vamos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Resolvendo para :

Passo 5

Encontramos que é o ponto crítico. Para confirmar que esse ponto realmente maximiza a utilidade, podemos analisar a segunda derivada da função.
A segunda derivada de é a derivada de :
Como a segunda derivada é negativa ( ), isso indica que a função tem um ponto de máximo em .

Resposta

A quantidade que maximiza a utilidade desse produto é 150. Alternativa (a).

Exercícios relacionados

Julgue as afirmações.
(I) Se a taxa de variação média de uma função é nula em um intervalo I, então a função é constante nesse intervalo.
(II) Toda função decrescente em um intervalo I tem taxa de variação média negativa em I.
(III) Se a taxa de variação média de uma função é positiva em um intervalo I, então ela é crescente no intervalo I.
É correto afirmar que:
(a) Apenas (II) é verdadeira.
(b) Apenas (I) e (II) são verdadeiras.
© Apenas (III) é verdadeira.
(d) Todas são verdadeiras.
(e) Todas são falsas.
Derive cada expressão, apresentando apenas o resultado final. (2pts) (1-x^2)/ln(x)
Calcule os limites em [-infty, infty], apresentando apenas os resultados finais. (2pts.) lim x (pi / 2)(pi-2 x) tg x= square
Sejam f e g funções definidas e deriváveis para todo x em R, tais que f(2) = g(2) e f'(x) < g'(x) para todo x no intervalo [1, 3]. Marque a única alternativa que é sempre verdadeira para todas as funções f e g que se encaixem nessas condições.
(a) f(x) ≥ g(x) quando x está em [1, 2] e f(x) <= g(x) quando x está em [2, 3].
(b) f(x) <= g(x) quando x está em [1, 2] e f(x) ≥ g(x) quando x está em [2, 3].
© f(x) - g(x) é crescente em [1, 2] e decrescente em [2, 3].
(d) f(x) - g(x) é decrescente em [1, 2] e crescente em [2, 3].
(e) f(x) <= g(x) para todo x em [1, 3].