A função de utilidade expressa a preferência do consumidor por diferentes quantidades do produto, assim, considere a seguinte função utilidade
onde
representa a quantidade de produto. Qual a quantidade que maximiza a utilidade desse produto?
(a) 150 .
(b) 120 .
© 200 .
(d) 170 .
(e) 140 .
(a) 150 .
(b) 120 .
© 200 .
(d) 170 .
(e) 140 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado nos apresenta uma função de utilidade que mostra a preferência de um consumidor por diferentes quantidades de um produto. A função é:
Nosso objetivo aqui é encontrar a quantidade
que maximiza essa utilidade. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, para identificar o ponto onde a utilidade atinge seu valor máximo.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que para encontrar o ponto de máximo da função
, devemos derivar a função em relação a
e igualar essa derivada a zero. A derivada nos dá a taxa de variação da utilidade em relação à quantidade, e o ponto onde essa taxa é zero indica um ponto crítico, que pode ser um máximo ou mínimo.
A função dada é:
Vamos calcular a derivada de
em relação a
.
Passo 3
A derivada de cada termo da função é calculada da seguinte forma:
- A derivada de
é . - A derivada de
é . - A derivada de uma constante (
) é .
Então, a derivada de
é:
Passo 4
Agora, vamos igualar a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Resolvendo para
:
Passo 5
Encontramos que
é o ponto crítico. Para confirmar que esse ponto realmente maximiza a utilidade, podemos analisar a segunda derivada da função.
A segunda derivada de
é a derivada de
:
Como a segunda derivada é negativa (
), isso indica que a função tem um ponto de máximo em
.
Resposta
A quantidade que maximiza a utilidade desse produto é 150. Alternativa (a).
Exercícios relacionados
Julgue as afirmações.
(I) Se a taxa de variação média de uma função é nula em um intervalo , então a função é constante nesse intervalo.
(II) Toda função decrescente em um intervalo tem taxa de variação média negativa em
.
(III) Se a taxa de variação média de uma função é positiva em um intervalo , então ela é crescente no intervalo
.
É correto afirmar que:
(a) Apenas (II) é verdadeira.
(b) Apenas (I) e (II) são verdadeiras.
© Apenas (III) é verdadeira.
(d) Todas são verdadeiras.
(e) Todas são falsas.
(I) Se a taxa de variação média de uma função é nula em um intervalo
(II) Toda função decrescente em um intervalo
(III) Se a taxa de variação média de uma função é positiva em um intervalo
É correto afirmar que:
(a) Apenas (II) é verdadeira.
(b) Apenas (I) e (II) são verdadeiras.
© Apenas (III) é verdadeira.
(d) Todas são verdadeiras.
(e) Todas são falsas.
Derive cada expressão, apresentando apenas o resultado final. (2pts)
Calcule os limites em
, apresentando apenas os resultados finais. (2pts.)
Sejam
e
funções definidas e deriváveis para todo
, tais que
e
para todo
no intervalo
. Marque a única alternativa que é sempre verdadeira para todas as funções
e
que se encaixem nessas condições.
(a) quando
está em
e
quando
está em
.
(b) quando
está em
e
quando
está em
.
© é crescente em
e decrescente em
.
(d) é decrescente em
e crescente em
.
(e) para todo
em
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)