Calcule os limites em
, apresentando apenas os resultados finais. (2pts.)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando
se aproxima de
para a expressão
. Isso envolve o estudo de limites em funções trigonométricas e algebricas.
Passo 2
Vamos analisar o comportamento de cada parte da expressão quando
se aproxima de
:
-
se aproxima de . -
tende ao infinito porque é indefinido (a tangente de tende ao infinito).
Portanto, estamos lidando com uma forma indeterminada do tipo
.
Passo 3
Para resolver essa forma indeterminada, vamos reescrever a expressão de maneira que possamos aplicar a Regra de L’Hôpital. Podemos reescrever
como
, onde
.
Agora, a expressão fica:
Essa nova forma nos dá uma indeterminação do tipo
, onde podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.
Passo 4
Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador separadamente:
- Derivada do numerador
em relação a é . - Derivada do denominador
em relação a é .
Então, o limite passa a ser:
Passo 5
Sabemos que
, então
. Substituindo na expressão:
Agora, avaliamos o limite de
quando
se aproxima de
:
Portanto:
Resposta
Exercícios relacionados
A função de utilidade expressa a preferência do consumidor por diferentes quantidades do produto, assim, considere a seguinte função utilidade
onde
representa a quantidade de produto. Qual a quantidade que maximiza a utilidade desse produto?
(a) 150 .
(b) 120 .
© 200 .
(d) 170 .
(e) 140 .
(a) 150 .
(b) 120 .
© 200 .
(d) 170 .
(e) 140 .
Julgue as afirmações.
(I) Se a taxa de variação média de uma função é nula em um intervalo , então a função é constante nesse intervalo.
(II) Toda função decrescente em um intervalo tem taxa de variação média negativa em
.
(III) Se a taxa de variação média de uma função é positiva em um intervalo , então ela é crescente no intervalo
.
É correto afirmar que:
(a) Apenas (II) é verdadeira.
(b) Apenas (I) e (II) são verdadeiras.
© Apenas (III) é verdadeira.
(d) Todas são verdadeiras.
(e) Todas são falsas.
(I) Se a taxa de variação média de uma função é nula em um intervalo
(II) Toda função decrescente em um intervalo
(III) Se a taxa de variação média de uma função é positiva em um intervalo
É correto afirmar que:
(a) Apenas (II) é verdadeira.
(b) Apenas (I) e (II) são verdadeiras.
© Apenas (III) é verdadeira.
(d) Todas são verdadeiras.
(e) Todas são falsas.
Sejam
e
funções definidas e deriváveis para todo
, tais que
e
para todo
no intervalo
. Marque a única alternativa que é sempre verdadeira para todas as funções
e
que se encaixem nessas condições.
(a) quando
está em
e
quando
está em
.
(b) quando
está em
e
quando
está em
.
© é crescente em
e decrescente em
.
(d) é decrescente em
e crescente em
.
(e) para todo
em
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Derive cada expressão, apresentando apenas o resultado final. (2pts)