Calcule os limites em [-infty, infty], apresentando apenas os resultados finais. (2pts.) lim x (pi / 2)(pi-2 x) tg x= square

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando se aproxima de para a expressão . Isso envolve o estudo de limites em funções trigonométricas e algebricas.

Passo 2

Vamos analisar o comportamento de cada parte da expressão quando se aproxima de :
  • se aproxima de .
  • tende ao infinito porque é indefinido (a tangente de tende ao infinito).
Portanto, estamos lidando com uma forma indeterminada do tipo .

Passo 3

Para resolver essa forma indeterminada, vamos reescrever a expressão de maneira que possamos aplicar a Regra de L’Hôpital. Podemos reescrever limx to pi2 pi - 2xcot x como , onde .
Agora, a expressão fica:
Essa nova forma nos dá uma indeterminação do tipo , onde podemos aplicar a Regra de L’Hôpital.

Passo 4

Aplicando a Regra de L’Hôpital, derivamos o numerador e o denominador separadamente:
  • Derivada do numerador limx to pi2 -2- csc^2 x = limx to pi2 2csc^2 x em relação a é .
  • Derivada do denominador em relação a é .
Então, o limite passa a ser:

Passo 5

Sabemos que 2csc^2 x = 2 sin^2 x , então sin(pi2) = 1 Rightarrow sin^2(pi2) = 1 . Substituindo na expressão:
2 sin^2(pi2) = 2 times 1 = 2
Agora, avaliamos o limite de quando se aproxima de :
Portanto:

Resposta

2

Exercícios relacionados

A função de utilidade expressa a preferência do consumidor por diferentes quantidades do produto, assim, considere a seguinte função utilidade
U(q) = -2q^2 + 600q - 20000, q ≥ 0
onde q representa a quantidade de produto. Qual a quantidade que maximiza a utilidade desse produto?
(a) 150 .
(b) 120 .
© 200 .
(d) 170 .
(e) 140 .
Julgue as afirmações.
(I) Se a taxa de variação média de uma função é nula em um intervalo I, então a função é constante nesse intervalo.
(II) Toda função decrescente em um intervalo I tem taxa de variação média negativa em I.
(III) Se a taxa de variação média de uma função é positiva em um intervalo I, então ela é crescente no intervalo I.
É correto afirmar que:
(a) Apenas (II) é verdadeira.
(b) Apenas (I) e (II) são verdadeiras.
© Apenas (III) é verdadeira.
(d) Todas são verdadeiras.
(e) Todas são falsas.
Sejam f e g funções definidas e deriváveis para todo x em R, tais que f(2) = g(2) e f'(x) < g'(x) para todo x no intervalo [1, 3]. Marque a única alternativa que é sempre verdadeira para todas as funções f e g que se encaixem nessas condições.
(a) f(x) ≥ g(x) quando x está em [1, 2] e f(x) <= g(x) quando x está em [2, 3].
(b) f(x) <= g(x) quando x está em [1, 2] e f(x) ≥ g(x) quando x está em [2, 3].
© f(x) - g(x) é crescente em [1, 2] e decrescente em [2, 3].
(d) f(x) - g(x) é decrescente em [1, 2] e crescente em [2, 3].
(e) f(x) <= g(x) para todo x em [1, 3].
Derive cada expressão, apresentando apenas o resultado final. (2pts) (raiz(x))'