Sejam
e
funções definidas e deriváveis para todo
, tais que
e
para todo
no intervalo
. Marque a única alternativa que é sempre verdadeira para todas as funções
e
que se encaixem nessas condições.
(a)
quando
está em
e
quando
está em
.
(b)
quando
está em
e
quando
está em
.
©
é crescente em
e decrescente em
.
(d)
é decrescente em
e crescente em
.
(e)
para todo
em
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que o enunciado tá falando. Temos duas funções,
e
, que são definidas e têm derivadas em todo número real. Sabemos que em
, elas têm o mesmo valor, ou seja,
. Além disso, a derivada de
é menor que a derivada de
no intervalo de
. O que a gente precisa descobrir é qual das alternativas (a) a (e) sempre vai ser verdadeira pra qualquer par de funções que satisfaçam essas condições. Vamos usar conceitos de derivadas e comportamento de funções pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no que significa
no intervalo
. A derivada de uma função em um ponto nos diz a taxa de variação dela naquele ponto. Se
, isso quer dizer que
está aumentando mais rápido que
no intervalo dado.
Passo 3
Agora, consideremos a diferença entre as duas funções:
. A derivada dessa diferença é
. Como
, então
. Isso significa que
está diminuindo no intervalo
.
Passo 4
Sabemos também que
, ou seja,
. Como
está diminuindo nesse intervalo e no ponto
a diferença é zero, isso indica que para
,
(já que está aumentando até chegar em zero) e para
,
(continuando a diminuir).
Passo 5
Vamos agora analisar as alternativas:
- (a) Contrário ao que vimos.
- (b) Também não condiz com a nossa análise.
- © Diz que
é crescente em e decrescente em , o que está de acordo com . - (d) Invertido do que determinamos.
- (e) Afirma que
para todo em , mas vimos que antes de , .
Resposta
A alternativa correta é a ©:
é crescente em
e decrescente em
.
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Calcule os limites em
, apresentando apenas os resultados finais. (2pts.)
A função de utilidade expressa a preferência do consumidor por diferentes quantidades do produto, assim, considere a seguinte função utilidade
onde
representa a quantidade de produto. Qual a quantidade que maximiza a utilidade desse produto?
(a) 150 .
(b) 120 .
© 200 .
(d) 170 .
(e) 140 .
(a) 150 .
(b) 120 .
© 200 .
(d) 170 .
(e) 140 .
Derive cada expressão, apresentando apenas o resultado final. (2pts)
Derive a função
e assinale a resposta correta.
(a) . (b)
.
© .
(d) .
(e) .
(a)
©
(d)
(e)