Julgue as afirmações.
(I) Se a taxa de variação média de uma função é nula em um intervalo
, então a função é constante nesse intervalo.
(II) Toda função decrescente em um intervalo
tem taxa de variação média negativa em
.
(III) Se a taxa de variação média de uma função é positiva em um intervalo
, então ela é crescente no intervalo
.
É correto afirmar que:
(a) Apenas (II) é verdadeira.
(b) Apenas (I) e (II) são verdadeiras.
© Apenas (III) é verdadeira.
(d) Todas são verdadeiras.
(e) Todas são falsas.
(I) Se a taxa de variação média de uma função é nula em um intervalo
(II) Toda função decrescente em um intervalo
(III) Se a taxa de variação média de uma função é positiva em um intervalo
É correto afirmar que:
(a) Apenas (II) é verdadeira.
(b) Apenas (I) e (II) são verdadeiras.
© Apenas (III) é verdadeira.
(d) Todas são verdadeiras.
(e) Todas são falsas.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos três afirmações sobre a taxa de variação média de uma função em um intervalo
. Nosso objetivo é julgar se cada uma dessas afirmações é verdadeira ou falsa. Para isso, precisamos lembrar o que é a taxa de variação média e como ela se relaciona com o comportamento da função (se é constante, crescente ou decrescente).
Passo 2
Afirmação (I): Se a taxa de variação média de uma função é nula em um intervalo
, então a função é constante nesse intervalo.
A taxa de variação média de uma função
no intervalo
é dada por:
Se essa taxa for nula, temos:
Isso significa que a função começa e termina com o mesmo valor no intervalo
. Porém, isso não garante que a função seja constante em todo o intervalo
, apenas que os pontos finais têm o mesmo valor. Pode haver variações internas que se compensam, resultando em uma taxa média nula.
Conclusão da Afirmação (I): Falsa.
Passo 3
Afirmação (II): Toda função decrescente em um intervalo
tem taxa de variação média negativa em
.
Uma função é decrescente em
se, para quaisquer
em
, temos
. Vamos calcular a taxa de variação média:
Como
(porque a função é decrescente) e
, a fração será negativa.
Conclusão da Afirmação (II): Verdadeira.
Passo 4
Afirmação (III): Se a taxa de variação média de uma função é positiva em um intervalo
, então ela é crescente no intervalo
.
Se a taxa de variação média é positiva:
Isso indica que, em média, a função aumenta do
para o
. Contudo, isso não garante que a função seja estritamente crescente em todo o intervalo
. Pode haver pontos onde a função diminui, mas, no geral, a mudança é positiva.
Conclusão da Afirmação (III): Falsa.
Resposta
Apenas a afirmação (II) é verdadeira. Portanto, a opção correta é a letra a).
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A função de utilidade expressa a preferência do consumidor por diferentes quantidades do produto, assim, considere a seguinte função utilidade
onde
representa a quantidade de produto. Qual a quantidade que maximiza a utilidade desse produto?
(a) 150 .
(b) 120 .
© 200 .
(d) 170 .
(e) 140 .
(a) 150 .
(b) 120 .
© 200 .
(d) 170 .
(e) 140 .
Calcule os limites em
, apresentando apenas os resultados finais. (2pts.)