Se uma função vetorial
depende tanto do espaço
quanto do tempo
, mostre que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função vetorial
que depende não só das coordenadas espaciais
, mas também do tempo
. Nosso objetivo é encontrar a expressão para a derivada total dessa função, ou seja,
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas parciais e o operador nabla (
).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa a derivada total de uma função que depende de várias variáveis. Quando uma função depende de mais de uma variável, a derivada total considera como a função muda em todas as direções possíveis dessas variáveis. No nosso caso,
depende de
,
,
e
, então precisamos levar em conta essas quatro direções.
Passo 3
Vamos separar a mudança na função
em duas partes:
- A mudança devido às variações nas coordenadas espaciais
. - A mudança devido à variação no tempo
.
Isso nos ajuda a aplicar a regra da derivada total de forma organizada.
Passo 4
Para a parte espacial, usamos o operador nabla (
), que representa as derivadas parciais em relação a
,
e
. A expressão
captura como
muda conforme nos movemos no espaço, onde
é o vetor deslocamento no espaço.
Passo 5
Para a parte temporal, simplesmente consideramos a derivada parcial de
em relação ao tempo, multiplicada por
, que representa uma pequena variação no tempo. Então, temos
.
Passo 6
Finalmente, combinando as duas partes, a derivada total de
fica:
Essa expressão mostra como a função vetorial
muda tanto no espaço quanto no tempo.
Resposta
Exercícios relacionados
Resolva cada uma das equações diferenciais dadas:
.
(4 pontos) Seja a EDO
a) (1,0) Encontre uma solução particular da forma
;
b) Use a solução encontrada no item anterior para encontrar a solução geral da EDO.
Lembretes:
b)
Lembretes:
XXVI)
Produto escalar (geométrica): (i#) definição; (ii) suas propriedades; (iii) resultados importantes (ortogonalidade e paralelismo); (iv#) lei dos cossenos; e (v) invariância.