Se uma função vetorial F depende tanto do espaço (x, y, z) quanto do tempo t, mostre que d F= (dr nabla) F+(partial F / partial t) d t [0,00 / 1,00]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função vetorial F que depende não só das coordenadas espaciais (x, y, z), mas também do tempo t. Nosso objetivo é encontrar a expressão para a derivada total dessa função, ou seja, d F. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas parciais e o operador nabla ( nabla).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa a derivada total de uma função que depende de várias variáveis. Quando uma função depende de mais de uma variável, a derivada total considera como a função muda em todas as direções possíveis dessas variáveis. No nosso caso, F depende de x, y, z e t, então precisamos levar em conta essas quatro direções.

Passo 3

Vamos separar a mudança na função F em duas partes:
  1. A mudança devido às variações nas coordenadas espaciais (x, y, z).
  2. A mudança devido à variação no tempo t.
Isso nos ajuda a aplicar a regra da derivada total de forma organizada.

Passo 4

Para a parte espacial, usamos o operador nabla ( nabla), que representa as derivadas parciais em relação a x, y e z. A expressão (dr cdot nabla) F captura como F muda conforme nos movemos no espaço, onde dr é o vetor deslocamento no espaço.

Passo 5

Para a parte temporal, simplesmente consideramos a derivada parcial de F em relação ao tempo, multiplicada por dt, que representa uma pequena variação no tempo. Então, temos (partial F / partial t) dt.

Passo 6

Finalmente, combinando as duas partes, a derivada total de F fica:
d F = (dr cdot nabla) F + (partial Fpartial t) dt
Essa expressão mostra como a função vetorial F muda tanto no espaço quanto no tempo.

Resposta

d F = (dr cdot nabla) F + (partial Fpartial t) dt

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