Resolva cada uma das equações diferenciais dadas:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. O conteúdo principal envolve separação de variáveis, que é uma técnica usada para resolver equações onde podemos isolar as variáveis
e
em lados opostos da equação. Para isso, vamos precisar reorganizar a equação de forma que todos os termos com
fiquem de um lado e os com
fiquem do outro.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis. Atualmente, a equação está escrita como:
Para separar, multiplicamos ambos os lados por
e por
, assim:
Agora temos todos os termos com
de um lado e os com
do outro, prontos para serem integrados.
Passo 3
Vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar as antiderivadas de cada lado.
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Onde
e
são constantes de integração.
Passo 4
Vamos agora igualar as integrais encontradas:
Podemos simplificar isso combinando as constantes de integração. Vamos chamar
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante arbitrária que pode ser determinada se tivermos uma condição inicial.
Exercícios relacionados
(4 pontos) Seja a EDO
a) (1,0) Encontre uma solução particular da forma
;
b) Use a solução encontrada no item anterior para encontrar a solução geral da EDO.
Lembretes:
b)
Lembretes:
Resolva cada uma das equações diferenciais dadas:
Se uma função vetorial
depende tanto do espaço
quanto do tempo
, mostre que
XXVI)