Resolva cada uma das equações diferenciais dadas:
d y/d t = t^2/(1+y^2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. O conteúdo principal envolve separação de variáveis, que é uma técnica usada para resolver equações onde podemos isolar as variáveis e em lados opostos da equação. Para isso, vamos precisar reorganizar a equação de forma que todos os termos com fiquem de um lado e os com fiquem do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis. Atualmente, a equação está escrita como:
Para separar, multiplicamos ambos os lados por e por , assim:
Agora temos todos os termos com de um lado e os com do outro, prontos para serem integrados.

Passo 3

Vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar as antiderivadas de cada lado.
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Onde e são constantes de integração.

Passo 4

Vamos agora igualar as integrais encontradas:
Podemos simplificar isso combinando as constantes de integração. Vamos chamar :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária que pode ser determinada se tivermos uma condição inicial.

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