Resolva cada uma das equações diferenciais dadas:
d y/d t = t^2/(1+y^2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial dada:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de primeira ordem. O conteúdo principal envolve separação de variáveis, que é uma técnica usada para resolver equações onde podemos isolar as variáveis e em lados opostos da equação. Para isso, vamos precisar reorganizar a equação de forma que todos os termos com fiquem de um lado e os com fiquem do outro.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis. Atualmente, a equação está escrita como:
Para separar, multiplicamos ambos os lados por e por , assim:
Agora temos todos os termos com de um lado e os com do outro, prontos para serem integrados.

Passo 3

Vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar as antiderivadas de cada lado.
Do lado esquerdo:
Do lado direito:
Onde e são constantes de integração.

Passo 4

Vamos agora igualar as integrais encontradas:
Podemos simplificar isso combinando as constantes de integração. Vamos chamar :

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante arbitrária que pode ser determinada se tivermos uma condição inicial.

Exercícios relacionados

(4 pontos) Seja a EDO
d^3 yd x^3-y=3 sen x-cos x
a) (1,0) Encontre uma solução particular da forma yP(x)=A sen x+B cos x;
b) (3,0) Use a solução encontrada no item anterior para encontrar a solução geral da EDO.
Lembretes: lim x 0 sen xx=1
l integrallim x 0^x 0 x^3 sen(n x) d x=-x^3 cos (n x)x=1
Resolva cada uma das equações diferenciais dadas:
y' = (3 t^2 - 1) / (3 + 2 y)
Se uma função vetorial F depende tanto do espaço (x, y, z) quanto do tempo t, mostre que d F= (dr nabla) F+(partial F / partial t) d t [0,00 / 1,00]
XXVI) (-1/2 + 2/7) / (1/3 + 2/5)