A função descreve o movimento harmônico simples de um corpo. No instante , determine a aceleração.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Movimento Harmônico Simples (MHS). A gente tem uma função que descreve a posição de um corpo em função do tempo, e queremos descobrir qual é a aceleração desse corpo no instante de segundos. Para isso, vamos precisar entender como a posição, a velocidade e a aceleração se relacionam no MHS.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a função que descreve o movimento do corpo:
Aqui, é a posição em metros, é o tempo em segundos, a amplitude é , a frequência angular é e a fase inicial é .
Passo 3
Para encontrar a aceleração, precisamos derivar a função posição duas vezes em relação ao tempo. A primeira derivada vai nos dar a velocidade, e a segunda, a aceleração. Vamos começar calculando a velocidade.
A derivada de em relação a é . Então, aplicando a regra da cadeia:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos derivar a velocidade para encontrar a aceleração. A derivada de em relação a é . Assim:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos substituir na expressão da aceleração: