A função x=(6,0 m) cos [(3 pi rad / s) t+pi / 3 rad] descreve o movimento harmônico simples de um corpo. No instante t=2,0 s, determine a aceleração.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Movimento Harmônico Simples (MHS). A gente tem uma função que descreve a posição de um corpo em função do tempo, e queremos descobrir qual é a aceleração desse corpo no instante de segundos. Para isso, vamos precisar entender como a posição, a velocidade e a aceleração se relacionam no MHS.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a função que descreve o movimento do corpo:
x(t) = (6,0 m) cos[(3pi rad/s) , t + pi3 rad]
Aqui, é a posição em metros, é o tempo em segundos, a amplitude é , a frequência angular é e a fase inicial é .

Passo 3

Para encontrar a aceleração, precisamos derivar a função posição duas vezes em relação ao tempo. A primeira derivada vai nos dar a velocidade, e a segunda, a aceleração. Vamos começar calculando a velocidade.
A derivada de v(t) = dxdt = -6,0 m cdot (3pi rad/s) cdot sin[(3pi rad/s) , t + pi3 rad] em relação a v(t) = -18pi m/s cdot sin[(3pi) t + pi3] é . Então, aplicando a regra da cadeia:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos derivar a velocidade para encontrar a aceleração. A derivada de a(t) = dvdt = -18pi m/s cdot (3pi rad/s) cdot cos[(3pi) t + pi3] em relação a a(t) = -54pi^2 m/s^2 cdot cos[(3pi) t + pi3] é . Assim:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos substituir a(2,0) = -54pi^2 m/s^2 cdot cos[(3pi)(2,0) + pi3] na expressão da aceleração:
(3pi)(2) + pi3 = 6pi + pi3 = 18pi3 + pi3 = 19pi3
Calculando o argumento do cosseno:
Sabemos que porque o cosseno tem período .

Resposta

Substituindo de volta:
a(2,0) = -54pi^2 m/s^2 cdot 12 = -27pi^2 m/s^2
Portanto, a aceleração no instante é .

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