A função descreve o movimento harmônico simples de um corpo. No instante , determine a aceleração.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Movimento Harmônico Simples (MHS). A gente tem uma função que descreve a posição de um corpo em função do tempo, e queremos descobrir qual é a aceleração desse corpo no instante de segundos. Para isso, vamos precisar entender como a posição, a velocidade e a aceleração se relacionam no MHS.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a função que descreve o movimento do corpo:
Aqui, é a posição em metros, é o tempo em segundos, a amplitude é , a frequência angular é e a fase inicial é .

Passo 3

Para encontrar a aceleração, precisamos derivar a função posição duas vezes em relação ao tempo. A primeira derivada vai nos dar a velocidade, e a segunda, a aceleração. Vamos começar calculando a velocidade.
A derivada de em relação a é . Então, aplicando a regra da cadeia:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos derivar a velocidade para encontrar a aceleração. A derivada de em relação a é . Assim:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos substituir na expressão da aceleração:
Calculando o argumento do cosseno:
Sabemos que porque o cosseno tem período .

Resposta

Substituindo de volta:
Portanto, a aceleração no instante é .

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