A função
descreve o movimento harmônico simples de um corpo. No instante
, determine a aceleração.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de Movimento Harmônico Simples (MHS). A gente tem uma função que descreve a posição de um corpo em função do tempo, e queremos descobrir qual é a aceleração desse corpo no instante de
segundos. Para isso, vamos precisar entender como a posição, a velocidade e a aceleração se relacionam no MHS.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a função que descreve o movimento do corpo:
Aqui,
é a posição em metros,
é o tempo em segundos, a amplitude é
, a frequência angular é
e a fase inicial é
.
Passo 3
Para encontrar a aceleração, precisamos derivar a função posição duas vezes em relação ao tempo. A primeira derivada vai nos dar a velocidade, e a segunda, a aceleração. Vamos começar calculando a velocidade.
A derivada de
em relação a
é
. Então, aplicando a regra da cadeia:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos derivar a velocidade para encontrar a aceleração. A derivada de
em relação a
é
. Assim:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos substituir
na expressão da aceleração:
Calculando o argumento do cosseno:
Sabemos que
porque o cosseno tem período
.
Resposta
Substituindo de volta:
Portanto, a aceleração no instante
é
.