Um foguete acelera pela queima do combustível a bordo; assim, sua massa diminui com o tempo. Suponha que a massa inicial do foguete no lançamento (incluindo seu combustível) seja m, o combustível seja consumido a uma taxa r, e os gases de exaustão sejam ejetados a uma velocidade constante vc (relativa ao foguete). Um modelo para a velocidade do foguete no instante t é dado pela seguinte equação
v(t)=-g t-vc ln m-r tm
em que g é a aceleração da gravidade e t não é muito grande. Se g=9,8 m / s^2, m=30000 kg, r=160 kg / s e vc=3000 m / s, determine a altura do foguete (a) um minuto após o lançamento;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre um foguete que está acelerando enquanto queima combustível. A gente vai precisar usar conceitos de cinemática e entender um pouco sobre como a variação de massa afeta a velocidade. Para resolver, vamos usar a fórmula da velocidade fornecida e calcular a altura que o foguete alcança após um minuto de voo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a fórmula da velocidade do foguete:
v(t) = -g t - vc ln m - r tm
Aqui:
  • é a aceleração da gravidade.
  • é a massa inicial do foguete.
  • é a taxa de consumo de combustível.
  • é a velocidade de ejeção dos gases.

Passo 3

Para encontrar a altura que o foguete atinge após um minuto (60 segundos), precisamos calcular a posição h(t) = integral0^t v(t') , dt' no tempo s. A posição é obtida integrando a velocidade em relação ao tempo:
Isso significa que vamos integrar a função de velocidade desde o início do voo até os 60 segundos.

Passo 4

Vamos substituir a express��o da velocidade na integral:
h(60) = integral0^60 ( -g t' - vc ln m - r t'm ) dt'
Agora, separamos a integral em duas partes para facilitar:
h(60) = -g integral0^60 t' , dt' - vc integral0^60 ln m - r t'm , dt'

Passo 5

Calculando a primeira integral:
integral0^60 t' , dt' = t'^22 |0^60 = 60^22 - 0 = 1800 , m
Então, a primeira parte fica:
- g times 1800 = -9,8 times 1800 = -17640 , m

Passo 6

Agora, vamos calcular a segunda integral:
integral0^60 ln m - r t'm , dt'
Fazendo a substituição integralm^20400 ln um ( -dur ) = 1r integral20400^30000 ln um , du , temos integral ln um , du = u ln um - u + C , ou seja, u ln um - u |20400^30000 = [30000 ln 3000030000 - 30000] - [20400 ln 2040030000 - 20400] . Alterando os limites:
  • Quando -30000 - [20400 ln 0,68 - 20400] = -30000 - [20400 times (-0,384) - 20400] = -30000 + 20400 times 0,384 , 20400 times 0,384 approx 7825,6
  • Quando -30000 + 7825,6 = -22174,4 , kg·m/s , -22174,4160 approx -138,59 , m
A integral fica:
- vc times (-138,59) = 3000 times 138,59 approx 415770 , m
Essa integral é um pouco mais complicada, mas podemos usar a integração por partes. Seja:
Aplicando os limites:
Sabemos que , então:
Calculando:
Portanto:
Multiplicando pela :
Então, a segunda parte fica:

Passo 7

Agora, somamos as duas partes para encontrar a altura total:
h(60) = -17640 + 415770 = 398130 , m

Resposta

Após um minuto de lançamento, o foguete atinge uma altura de aproximadamente 398.130 metros.

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