Um foguete acelera pela queima do combustível a bordo; assim, sua massa diminui com o tempo. Suponha que a massa inicial do foguete no lançamento (incluindo seu combustível) seja , o combustível seja consumido a uma taxa , e os gases de exaustão sejam ejetados a uma velocidade constante (relativa ao foguete). Um modelo para a velocidade do foguete no instante é dado pela seguinte equação
em que g é a aceleração da gravidade e não é muito grande. Se , e , determine a altura do foguete um minuto após o lançamento;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre um foguete que está acelerando enquanto queima combustível. A gente vai precisar usar conceitos de cinemática e entender um pouco sobre como a variação de massa afeta a velocidade. Para resolver, vamos usar a fórmula da velocidade fornecida e calcular a altura que o foguete alcança após um minuto de voo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula da velocidade do foguete:
Aqui:
é a aceleração da gravidade.
é a massa inicial do foguete.
é a taxa de consumo de combustível.
é a velocidade de ejeção dos gases.
Passo 3
Para encontrar a altura que o foguete atinge após um minuto (60 segundos), precisamos calcular a posição no tempo s. A posição é obtida integrando a velocidade em relação ao tempo:
Isso significa que vamos integrar a função de velocidade desde o início do voo até os 60 segundos.
Passo 4
Vamos substituir a express��o da velocidade na integral:
Agora, separamos a integral em duas partes para facilitar:
Passo 5
Calculando a primeira integral:
Então, a primeira parte fica:
- g times 1800 = -9,8 times 1800 = -17640 , m
Passo 6
Agora, vamos calcular a segunda integral:
integral0^60 ln m - r t'm , dt'
Fazendo a substituição integralm^20400 ln um ( -dur ) = 1r integral20400^30000 ln um , du , temos integral ln um , du = u ln um - u + C , ou seja, u ln um - u |20400^30000 = [30000 ln 3000030000 - 30000] - [20400 ln 2040030000 - 20400] . Alterando os limites:
Quando -30000 - [20400 ln 0,68 - 20400] = -30000 - [20400 times (-0,384) - 20400] = -30000 + 20400 times 0,384 , 20400 times 0,384 approx 7825,6
Quando -30000 + 7825,6 = -22174,4 , kg·m/s , -22174,4160 approx -138,59 , m
A integral fica:
- vc times (-138,59) = 3000 times 138,59 approx 415770 , m
Essa integral é um pouco mais complicada, mas podemos usar a integração por partes. Seja:
Aplicando os limites:
Sabemos que , então:
Calculando:
Portanto:
Multiplicando pela :
Então, a segunda parte fica:
Passo 7
Agora, somamos as duas partes para encontrar a altura total:
h(60) = -17640 + 415770 = 398130 , m
Resposta
Após um minuto de lançamento, o foguete atinge uma altura de aproximadamente 398.130 metros.