Sendo , equações paramétricas de um plano pi, obter uma equação geral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa transformar essas equações paramétricas de um plano em uma equação geral. Pra fazer isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica, tipo vetores diretores e produto vetorial. Vamos precisar identificar os vetores que definem o plano e achar um vetor perpendicular a ele.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever as equações paramétricas que a gente tem:
x = 1 + 2h - t y = 1 - h z = 2 + 2h - 2t
Aqui, e são os parâmetros que determinam os pontos do plano.
Passo 3
Vamos identificar os vetores diretores do plano. Observando as equações, percebemos que:
O coeficiente de 2 -1 2 nos dá o primeiro vetor diretor: -1 0 -2 .
O coeficiente de nos dá o segundo vetor diretor: .
Passo 4
Agora, vamos achar o vetor normal ao plano. Pra isso, usamos o produto vetorial entre os vetores diretores n = v1 times v2 e n = i & j & k 2 & -1 & 2 -1 & 0 & -2 = i( (-1)(-2) - (2)(0) ) - j( (2)(-2) - (2)(-1) ) + k( (2)(0) - (-1)(-1) ) :
n = 2 2 -1
Calculando o produto vetorial:
Simplificando:
Passo 5
Agora que temos o vetor normal 2 2 -1 , vamos usar um ponto que está no plano para montar a equação geral. Olhando as equações paramétricas, quando e , temos o ponto .