Sendo
lx=1+2 h-t y=1-h z=2+2 h-2 t, equações paramétricas de um plano pi, obter uma equação geral.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa transformar essas equações paramétricas de um plano em uma equação geral. Pra fazer isso, vamos usar conceitos de Geometria Analítica, tipo vetores diretores e produto vetorial. Vamos precisar identificar os vetores que definem o plano e achar um vetor perpendicular a ele.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as equações paramétricas que a gente tem:
x = 1 + 2h - t y = 1 - h z = 2 + 2h - 2t
Aqui, e são os parâmetros que determinam os pontos do plano.

Passo 3

Vamos identificar os vetores diretores do plano. Observando as equações, percebemos que:
  • O coeficiente de 2 -1 2 nos dá o primeiro vetor diretor: -1 0 -2 .
  • O coeficiente de nos dá o segundo vetor diretor: .

Passo 4

Agora, vamos achar o vetor normal ao plano. Pra isso, usamos o produto vetorial entre os vetores diretores n = v1 times v2 e n = i & j & k 2 & -1 & 2 -1 & 0 & -2 = i( (-1)(-2) - (2)(0) ) - j( (2)(-2) - (2)(-1) ) + k( (2)(0) - (-1)(-1) ) :
n = 2 2 -1
Calculando o produto vetorial:
Simplificando:

Passo 5

Agora que temos o vetor normal 2 2 -1 , vamos usar um ponto que está no plano para montar a equação geral. Olhando as equações paramétricas, quando e , temos o ponto .

Passo 6

A equação geral do plano é dada por:
2(x - 1) + 2(y - 1) - 1(z - 2) = 0
Vamos expandir isso:
2x - 2 + 2y - 2 - z + 2 = 0

Passo 7

Simplificando os termos:
2x + 2y - z - 2 = 0
Ou, de forma mais comum:
2x + 2y - z = 2

Resposta

A equação geral do plano é .

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