A função x(t) de uma partícula movendo-se al longo do eixo x é dada por x=4,0-6 t^2, onde x está em metros e t em segundos. (a) Em que instante e (b) em que posição a partícula (momentaneamente) pára? Em © instante negativo e (d) instante positivo a partícula passa pela origem? (e) a aceleração varia com o tempo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem o movimento de uma partícula ao longo do eixo , descrito pela função , onde está em metros e em segundos. Nosso objetivo é responder várias perguntas sobre esse movimento, como quando e onde a partícula para, quando ela passa pela origem nos tempos negativos e positivos, e se a aceleração muda com o tempo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de Cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento das partículas.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir quando a partícula para momentaneamente. Parar significa que a velocidade dela é zero nesse instante. Então, precisamos encontrar a velocidade da partícula.
A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar v(t) = dxdt = ddt(4,0 - 6t^2) = -12t :
-12t = 0 implies t = 0 , segundos
Agora, para encontrar o instante em que a partícula para, igualamos a velocidade a zero:

Passo 3

Agora que sabemos que a partícula para no instante x(0) = 4,0 - 6(0)^2 = 4,0 , metros , vamos descobrir onde isso acontece, ou seja, a posição nesse instante. Basta substituir na função da posição:
Então, a partícula para no instante segundos e na posição metros.

Passo 4

Vamos agora ver quando a partícula passa pela origem ( 4,0 - 6t^2 = 0 implies 6t^2 = 4,0 implies t^2 = 4,06 implies t = pm raiz23 approx pm 0,8165 , segundos ). Precisamos resolver a equação :
Isso significa que a partícula passa pela origem em dois instantes: um negativo e um positivo.

Passo 5

Por último, vamos verificar se a aceleração varia com o tempo. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Já temos a(t) = dvdt = ddt(-12t) = -12 , m/s^2 , então:
A aceleração é constante, ou seja, não varia com o tempo.

Resposta

(a) A partícula para momentaneamente no instante segundos.
(b) Nesse instante, a posição da partícula é metros.
© A partícula passa pela origem no instante negativo segundos.
(d) A partícula também passa pela origem no instante positivo segundos.
(e) A aceleração da partícula é constante e não varia com o tempo, sendo .

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