A velocidade de um carro em função do tempo é dada por v(t)=3+0,100 t^2. (a) Calcule a aceleração média do carro para o intervalo de tempo de t=0 a t=5 s. (b) Calcule a aceleração instantânea para (i) t=0; (ii) t=5 s; (iii) t=5 s.

Passo 1

Ok, vamos resolver esse exercício de cinemática! A gente tem a velocidade de um carro em função do tempo, que é . Precisamos calcular:
(a) A aceleração média entre e segundos.
(b) A aceleração instantânea nos instantes:
  • (i) segundos
  • (ii) segundos
  • (iii) segundos
Vamos usar conceitos de aceleração média e instantânea para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é aceleração. A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo.
  • Aceleração média é calculada pela variação da velocidade dividida pela variação do tempo.
  • Aceleração instantânea é a velocidade com que a velocidade muda em um ponto específico no tempo, que na matemática é a derivada da função velocidade em relação ao tempo.

Passo 3

Parte (a): Aceleração Média

Para calcular a aceleração média ( amédia = v(t2) - v(t1)t2 - t1 é) entre e segundos, usamos a fórmula:
é
Onde:
  • é a velocidade no tempo inicial s.
  • é a velocidade no tempo final s.
Vamos calcular cada parte.

Passo 4

Calculando v(0) = 3 + 0,100 times 0^2 = 3 , m/s e v(5) = 3 + 0,100 times 5^2 = 3 + 0,100 times 25 = 3 + 2,5 = 5,5 , m/s :

Passo 5

Agora, aplicamos na fórmula da aceleração média:
amédia = 5,5 - 35 - 0 = 2,55 = 0,5 , m/s^2 é

Passo 6

Parte (b): Aceleração Instantânea

A aceleração instantânea é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Vamos encontrar a(t) = ddt [3 + 0,100 t^2] = 0 + 0,200 t = 0,200 t .
Dada a função , vamos derivar:
Agora, calculamos nos instantes solicitados.

Passo 7

Calculando a(0) = 0,200 times 0 = 0 , m/s^2 para os instantes:
  • (i) a(5) = 0,200 times 5 = 1,0 , m/s^2 :
a(5) = 0,200 times 5 = 1,0 , m/s^2
  • (ii) :
  • (iii) :

Resposta

(a) A aceleração média do carro entre 0 e 5 segundos é de .
(b) As acelerações instantâneas são:
  • (i) em s;
  • (ii) em s;
  • (iii) em s.

Exercícios relacionados