Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Pelo que entendi, temos que calcular um limite envolvendo derivadas de uma função em relação a . O enunciado menciona expressões como e está focado em calcular o limite quando se aproxima de 0. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com limites e derivadas, além de usar propriedades básicas de funções trigonométricas. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender a expressão que precisamos calcular:
Aqui, temos uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador envolvem a derivada de em relação a , multiplicada por diferentes expressões.

Passo 3

Vamos simplificar essa fração. Note que aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelá-las:
Agora, nossa tarefa é calcular:

Passo 4

Para resolver esse limite, podemos usar a expansão em série de Taylor para perto de . A expansão de é:
Substituindo isso na expressão do numerador:

Passo 5

Agora, substituímos essa aproximação no limite:
À medida que se aproxima de 0, os termos contendo desaparecem, deixando:

Resposta

O valor do limite é igual a 0.

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