Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a pergunta está pedindo. Pelo que entendi, temos que calcular um limite envolvendo derivadas de uma função
em relação a
. O enunciado menciona expressões como
e está focado em calcular o limite quando
se aproxima de 0. Para resolver isso, vamos precisar entender como trabalhar com limites e derivadas, além de usar propriedades básicas de funções trigonométricas. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender a expressão que precisamos calcular:
Aqui, temos uma fração onde tanto o numerador quanto o denominador envolvem a derivada de
em relação a
, multiplicada por diferentes expressões.
Passo 3
Vamos simplificar essa fração. Note que
aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelá-las:
Agora, nossa tarefa é calcular:
Passo 4
Para resolver esse limite, podemos usar a expansão em série de Taylor para perto de
. A expansão de é:
Substituindo isso na expressão do numerador:
Passo 5
Agora, substituímos essa aproximação no limite:
À medida que
se aproxima de 0, os termos contendo
desaparecem, deixando:
Resposta
O valor do limite
é igual a 0.
Exercícios relacionados
(a)
verouino doval
A funço
, define o volume de uma caixa. Qual é o maior volume
A reta tangente à curva
, no seu ponto
, tem equação