Para as funções abaixo, calcule
e
e verifique se é válida a conclusão do Teorema de Schwarz.
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as segundas derivadas parciais de uma função . Estamos lidando com derivadas parciais de funções de duas variáveis e vamos precisar aplicar regras como a do quociente e a da cadeia. No final, vamos verificar se a conclusão do Teorema de Schwarz, que diz que
, é válida para essa função.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, usamos a regra do quociente:
Calculando as derivadas:
Substituindo de volta:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
. Isso envolve derivadas mais complexas, mas seguimos a mesma lógica da regra do quociente e da cadeia. O cálculo completo seria bastante extenso, mas essencialmente, aplicamos essas regras novamente para cada termo em
.
Após realizar todos os cálculos, obtemos:
Passo 4
Vamos agora calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Novamente, usamos a regra do quociente:
Calculando as derivadas:
Substituindo de volta:
Passo 5
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
. Assim como antes, aplicamos a regra do quociente e a cadeia para cada termo em
. Novamente, o cálculo completo é longo, mas seguimos os mesmos princípios.
Após todos os cálculos, obtemos:
Passo 6
Agora, vamos encontrar
, que é a derivada de
em relação a
. Usamos a derivada parcial que calculamos para
e aplicamos a derivada em relação a
. Isso envolve usar a regra do quociente e da cadeia novamente.
Após os cálculos, temos:
Passo 7
De maneira semelhante, calculamos
, que é a derivada de
em relação a
. Seguimos o mesmo processo de aplicar a regra do quociente e da cadeia aos termos de
.
Após os cálculos, obtemos:
Resposta
Todas as derivadas parciais calculadas são iguais, ou seja,
. Portanto, a conclusão do Teorema de Schwarz é válida para a função dada.
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Em quais intervalos do conjunto dos números reais
as funções abaixo são contínuas ?
(a)
(a)
Para as funções abaixo, calcule
e
e verifique se é válida a conclusão do Teorema de Schwarz.
©
©
Em quais intervalos do conjunto dos números reais
as funções abaixo são contínuas ?
(f)
(f)
Para a função abaixo, mostre que
, mas
. Justifique porque ocorre este fenômeno.