Para as funções abaixo, calcule e e verifique se é válida a conclusão do Teorema de Schwarz.
(d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as segundas derivadas parciais de uma função . Estamos lidando com derivadas parciais de funções de duas variáveis e vamos precisar aplicar regras como a do quociente e a da cadeia. No final, vamos verificar se a conclusão do Teorema de Schwarz, que diz que , é válida para essa função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, usamos a regra do quociente:
Calculando as derivadas:
Substituindo de volta:

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar . Isso envolve derivadas mais complexas, mas seguimos a mesma lógica da regra do quociente e da cadeia. O cálculo completo seria bastante extenso, mas essencialmente, aplicamos essas regras novamente para cada termo em .
Após realizar todos os cálculos, obtemos:

Passo 4

Vamos agora calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Novamente, usamos a regra do quociente:
Calculando as derivadas:
Substituindo de volta:

Passo 5

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar . Assim como antes, aplicamos a regra do quociente e a cadeia para cada termo em . Novamente, o cálculo completo é longo, mas seguimos os mesmos princípios.
Após todos os cálculos, obtemos:

Passo 6

Agora, vamos encontrar , que é a derivada de em relação a . Usamos a derivada parcial que calculamos para e aplicamos a derivada em relação a . Isso envolve usar a regra do quociente e da cadeia novamente.
Após os cálculos, temos:

Passo 7

De maneira semelhante, calculamos , que é a derivada de em relação a . Seguimos o mesmo processo de aplicar a regra do quociente e da cadeia aos termos de .
Após os cálculos, obtemos:

Resposta

Todas as derivadas parciais calculadas são iguais, ou seja, . Portanto, a conclusão do Teorema de Schwarz é válida para a função dada.

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