Quais das funções abaixo possuem o mesmo conjunto imagem da função de expressão f(x) = x^2 + 2, x in (-2, 1].
g(x) = 1/x + 1, x em (1/5, 1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir quais funções têm o mesmo conjunto imagem da função quando está no intervalo . O conteúdo que vamos usar aqui é análise de funções, especificamente determinando o conjunto imagem. Vamos precisar entender como calcular a imagem de uma função em um intervalo específico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o conjunto imagem da função no intervalo . O que significa isso? A imagem é o conjunto de todos os valores que pode assumir quando varia nesse intervalo.
Sabemos que a função é uma parábola que abre para cima. Então, para entre -2 e 1:
  • Quando , .
  • Quando , .
Como a parábola é simétrica e está abrindo para cima, o valor mínimo ocorre no ponto mais alto do intervalo, que é :
  • Quando , .
Portanto, os valores de variam de 2 a 6. Logo, o conjunto imagem de é .

Passo 3

Agora, vamos analisar a função no intervalo .
Primeiro, vamos entender o comportamento de :
  • A função é uma hipérbole que diminui à medida que aumenta.
  • Somando 1, a função inteira também diminui à medida que aumenta.
Vamos calcular os valores extremos no intervalo:
  • Quando , .
  • Quando , .
Assim, os valores de também variam de 2 a 6. Portanto, o conjunto imagem de é .

Resposta

A função , com , possui o mesmo conjunto imagem que , ou seja, .

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