Quais das funções abaixo possuem o mesmo conjunto imagem da função de expressão
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente descobrir quais funções têm o mesmo conjunto imagem da função
quando
está no intervalo
. O conteúdo que vamos usar aqui é análise de funções, especificamente determinando o conjunto imagem. Vamos precisar entender como calcular a imagem de uma função em um intervalo específico.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o conjunto imagem da função
no intervalo
. O que significa isso? A imagem é o conjunto de todos os valores que
pode assumir quando
varia nesse intervalo.
Sabemos que a função
é uma parábola que abre para cima. Então, para
entre -2 e 1:
- Quando
, . - Quando
, .
Como a parábola é simétrica e está abrindo para cima, o valor mínimo ocorre no ponto mais alto do intervalo, que é
:
- Quando
, .
Portanto, os valores de
variam de 2 a 6. Logo, o conjunto imagem de
é
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função
no intervalo
.
Primeiro, vamos entender o comportamento de
:
- A função
é uma hipérbole que diminui à medida que aumenta. - Somando 1, a função inteira
também diminui à medida que aumenta.
Vamos calcular os valores extremos no intervalo:
- Quando
, . - Quando
, .
Assim, os valores de
também variam de 2 a 6. Portanto, o conjunto imagem de
é
.
Resposta
A função
, com
, possui o mesmo conjunto imagem que
, ou seja,
.