Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justifique.
dada por .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se a função é uma transformação linear. Estamos trabalhando com polinômios de grau até 2, e vamos precisar entender o que é uma transformação linear para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação entre dois espaços vetoriais é linear se ela satisfaz duas propriedades:
  1. Preserva a adição: para quaisquer vetores e .
  2. Preserva a multiplicação por escalar: para qualquer escalar e vetor .
Então, para a função ser linear, ela precisa seguir essas duas regras.

Passo 3

Vamos analisar a função :
Aqui, pega um polinômio de grau até 2 e transforma em um polinômio de grau até 3. Mas atenção: o espaço de chegada é , que contém apenas polinômios de grau até 2!
Isso já é um problema porque resulta em um polinômio de grau 3, que não pertence a . Logo, a função não está bem definida como uma transformação de para .

Resposta

A função não é uma transformação linear porque ela mapeia polinômios de grau 2 para polinômios de grau 3, que não pertencem ao espaço . Portanto, não satisfaz os requisitos para ser uma transformação linear.

Exercícios relacionados

Sejam espaços vetoriais. Uma função chama-se par (respectivamente, ímpar) quando (respectivamente, ) para todo . Prove que o conjunto das funções pares e o conjunto das funções ímpares são subespaços vetoriais de e vale .
Obtenha o núcleo e a imagem da transformação linear , dada por .
Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justifique.
dada por .