Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justifique.
dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se a função
é uma transformação linear. Estamos trabalhando com polinômios de grau até 2, e vamos precisar entender o que é uma transformação linear para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
entre dois espaços vetoriais é linear se ela satisfaz duas propriedades:
- Preserva a adição:
para quaisquer vetores e . - Preserva a multiplicação por escalar:
para qualquer escalar e vetor .
Então, para a função
ser linear, ela precisa seguir essas duas regras.
Passo 3
Vamos analisar a função
:
Aqui,
pega um polinômio de grau até 2 e transforma em um polinômio de grau até 3. Mas atenção: o espaço de chegada é
, que contém apenas polinômios de grau até 2!
Isso já é um problema porque
resulta em um polinômio de grau 3, que não pertence a
. Logo, a função
não está bem definida como uma transformação de
para
.
Resposta
A função
não é uma transformação linear porque ela mapeia polinômios de grau 2 para polinômios de grau 3, que não pertencem ao espaço
. Portanto,
não satisfaz os requisitos para ser uma transformação linear.
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Sejam
espaços vetoriais. Uma função
chama-se par (respectivamente, ímpar) quando
(respectivamente,
) para todo
. Prove que o conjunto
das funções pares e o conjunto
das funções ímpares são subespaços vetoriais de
e vale
.
Obtenha o núcleo e a imagem da transformação linear
, dada por
.
Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justifique.
dada por
.