Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justifique.
dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função
definida por
. O assunto que vamos explorar aqui é transformação linear. Para saber se essa função é uma transformação linear, precisamos verificar duas coisas principais: aditividade e homogeneidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Uma função
é uma transformação linear se ela satisfaz duas propriedades:
- Aditividade:
para quaisquer vetores e . - Homogeneidade:
para qualquer escalar e vetor .
Vamos verificar essas duas propriedades para a função
.
Passo 3
Verificando a Aditividade:
Sejam
e
.
Calculemos
:
Expandindo, temos:
Agora, calculemos
:
Comparando os dois resultados:
A não ser que
, o que não é sempre verdadeiro, a aditividade não é satisfeita.
Passo 4
Verificando a Homogeneidade:
Vamos verificar se
para algum escalar
.
Calculemos
:
Agora, calculemos
:
Comparando os dois resultados:
Portanto, a homogeneidade também não é satisfeita para valores gerais de
.
Resposta
A função
não é uma transformação linear, pois não satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade necessárias para ser considerada linear.
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Obtenha o núcleo e a imagem da transformação linear
, dada por
.
Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justifique.
dada por
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Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justifique.
dada por
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Mostre que cada uma das transformações lineares de
abaixo é um isomorfismo e determine sua transformação linear inversa.
.