Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justifique.
g: R^2 R dada por g(x, y)=x cdot y.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função definida por . O assunto que vamos explorar aqui é transformação linear. Para saber se essa função é uma transformação linear, precisamos verificar duas coisas principais: aditividade e homogeneidade.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Uma função é uma transformação linear se ela satisfaz duas propriedades:
  1. Aditividade: para quaisquer vetores e .
  2. Homogeneidade: para qualquer escalar e vetor .
Vamos verificar essas duas propriedades para a função .

Passo 3

Verificando a Aditividade:
Sejam g(u + v) = g(x1 + x2, y1 + y2) = (x1 + x2) cdot (y1 + y2) e (x1 + x2) cdot (y1 + y2) = x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2 .
Calculemos g(u) + g(v) = x1y1 + x2y2 :
x1y1 + x1y2 + x2y1 + x2y2 neq x1y1 + x2y2
Expandindo, temos:
Agora, calculemos :
Comparando os dois resultados:
A não ser que , o que não é sempre verdadeiro, a aditividade não é satisfeita.

Passo 4

Verificando a Homogeneidade:
Vamos verificar se g(cx, cy) = (cx) cdot (cy) = c^2xy para algum escalar c cdot g(x, y) = c cdot (xy) = cxy .
Calculemos c^2xy neq cxy a menos que c = 0 ou c = 1 :
Agora, calculemos :
Comparando os dois resultados:
Portanto, a homogeneidade também não é satisfeita para valores gerais de .

Resposta

A função não é uma transformação linear, pois não satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade necessárias para ser considerada linear.

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