Obtenha o núcleo e a imagem da transformação linear D: P3(R) P3(R), dada por D(a0+a1 x+a2 x^2+a3 x^3)=a1+2 a2 x+3 a3 x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de transformação linear juntos! O enunciado pede para encontrarmos o núcleo e a imagem da transformação linear D(a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3) = a1 + 2a2x + 3a3x^2 , que é definida por:
Aqui, estamos lidando com transformações lineares no espaço dos polinômios de grau no máximo 3. Para resolver, vamos precisar entender o que são núcleo e imagem de uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o núcleo de Núc<=o(D) = p(x) in P3(R) | D(p(x)) = 0 . O núcleo é o conjunto de todos os polinômios em que são mapeados para o polinômio zero pela transformação . Ou seja,
ú

Passo 3

Vamos aplicar a definição de a1 + 2a2x + 3a3x^2 = 0 para encontrar o núcleo. Seja a1 = 0, 2a2 = 0, 3a3 = 0 . Se , então:
Isso significa que cada coeficiente deve ser igual a zero:

Passo 4

Resolvendo essas equações, temos:
a1 = 0, a2 = 0, a3 = 0
Portanto, o polinômio p(x) = a0 no núcleo de é:
Isso mostra que o núcleo de consiste em todos os polinômios constantes.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a imagem de Ima>=m(D) = D(p(x)) | p(x) in P3(R) . A imagem é o conjunto de todos os polinômios que podem ser obtidos aplicando a qualquer polinômio em . Formalmente,

Passo 6

Usando a definição de D(p(x)) = a1 + 2a2x + 3a3x^2 , qualquer polinômio na imagem terá a forma:
Isso significa que a imagem de consiste em polinômios de grau no máximo 2, já que o termo não aparece em .

Resposta

O núcleo da transformação Núc<=o(D) = a0 | a0 in R é o conjunto de todos os polinômios constantes, ou seja:
Ima>=m(D) = a1 + 2a2x + 3a3x^2 | a1, a2, a3 in R ú
Já a imagem de é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2, expressos por:

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