Obtenha o núcleo e a imagem da transformação linear , dada por .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de transformação linear juntos! O enunciado pede para encontrarmos o núcleo e a imagem da transformação linear , que é definida por:
Aqui, estamos lidando com transformações lineares no espaço dos polinômios de grau no máximo 3. Para resolver, vamos precisar entender o que são núcleo e imagem de uma transformação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o núcleo de . O núcleo é o conjunto de todos os polinômios em que são mapeados para o polinômio zero pela transformação . Ou seja,
ú

Passo 3

Vamos aplicar a definição de para encontrar o núcleo. Seja . Se , então:
Isso significa que cada coeficiente deve ser igual a zero:

Passo 4

Resolvendo essas equações, temos:
Portanto, o polinômio no núcleo de é:
Isso mostra que o núcleo de consiste em todos os polinômios constantes.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a imagem de . A imagem é o conjunto de todos os polinômios que podem ser obtidos aplicando a qualquer polinômio em . Formalmente,

Passo 6

Usando a definição de , qualquer polinômio na imagem terá a forma:
Isso significa que a imagem de consiste em polinômios de grau no máximo 2, já que o termo não aparece em .

Resposta

O núcleo da transformação é o conjunto de todos os polinômios constantes, ou seja:
ú
Já a imagem de é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2, expressos por:

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