Obtenha o núcleo e a imagem da transformação linear
, dada por
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de transformação linear juntos! O enunciado pede para encontrarmos o núcleo e a imagem da transformação linear
, que é definida por:
Aqui, estamos lidando com transformações lineares no espaço dos polinômios de grau no máximo 3. Para resolver, vamos precisar entender o que são núcleo e imagem de uma transformação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o núcleo de
. O núcleo é o conjunto de todos os polinômios
em
que são mapeados para o polinômio zero pela transformação
. Ou seja,
Passo 3
Vamos aplicar a definição de
para encontrar o núcleo. Seja
. Se
, então:
Isso significa que cada coeficiente deve ser igual a zero:
Passo 4
Resolvendo essas equações, temos:
Portanto, o polinômio
no núcleo de
é:
Isso mostra que o núcleo de
consiste em todos os polinômios constantes.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a imagem de
. A imagem é o conjunto de todos os polinômios que podem ser obtidos aplicando
a qualquer polinômio em
. Formalmente,
Passo 6
Usando a definição de
, qualquer polinômio na imagem terá a forma:
Isso significa que a imagem de
consiste em polinômios de grau no máximo 2, já que o termo
não aparece em
.
Resposta
O núcleo da transformação
é o conjunto de todos os polinômios constantes, ou seja:
Já a imagem de
é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 2, expressos por:
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Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justifique.
dada por
.
Sejam
espaços vetoriais. Uma função
chama-se par (respectivamente, ímpar) quando
(respectivamente,
) para todo
. Prove que o conjunto
das funções pares e o conjunto
das funções ímpares são subespaços vetoriais de
e vale
.
Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justifique.
dada por
.
Quais das funções abaixo são transformações lineares? Justifique.
dada por
.