Para as funções f: R^2 backslash(0,0) R abaixo indicadas, calcule, se existir, lim (x, y) (0,0) f(x, y) e discuta sobre a possibilidade ou não de tais funções serem estendidas continuamente para (0,0), definindo apropriadamente f(0,0), onde
f(x, y)=ln (3 x^4-x^2 y^2+3 y^4x^2+y^2+2),

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função:
f(x, y) = ln (3 x^4 - x^2 y^2 + 3 y^4x^2 + y^2 + 2)
O que a gente precisa fazer é calcular o limite dessa função quando se aproxima de . Além disso, vamos ver se dá pra estender essa função de forma contínua nesse ponto, ou seja, definir de um jeito que a função fique “suave” ali.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte dentro do logaritmo:
3 x^4 - x^2 y^2 + 3 y^4x^2 + y^2 + 2
Queremos ver o que esse pedaço todo vale quando vai para . Observa que tanto o numerador quanto o denominador vão para zero, o que pode dar uma situação complicada. Então, vamos tentar simplificar isso.

Passo 3

Vamos separar a fração em termos mais simples:
3 x^4x^2 + y^2 - x^2 y^2x^2 + y^2 + 3 y^4x^2 + y^2 + 2
Agora, a ideia é ver o comportamento de cada termo quando se aproxima de .

Passo 4

Vamos analisar cada fração:
Note que e são sempre menores ou iguais a 1, pois o denominador é a soma dos numeradores.
Quando :

Passo 5

Então, toda a expressão dentro do logaritmo fica:
0 + 2 = 2
Portanto, quando f(x, y) = ln(2) se aproxima de , temos:

Resposta

lim (x, y) (0,0) f(x, y) = ln(2)
Como o limite existe e é igual a f(0,0) = ln(2) , podemos estender a função continuamente para definindo:

Exercícios relacionados

Use o item 7 para provar que
lim (x, y) (0,0) f(x, y)=0
onde f: R^2 R é definida por
f(x, y)= (x^2+y^2+x-y) sin (1x^2+y^2), & se (x, y) neq(0,0) 5, & se (x, y)=(0,0)
Para as funções f: R^2 backslash(0,0) R abaixo indicadas, mostre que lim (x, y) (0,0) f(x, y) existe e calcule o seu valor, onde
f(x, y)=cos (x^3-y^3x^2+y^2)
Para as funções f: R^2 backslash(0,0) R abaixo indicadas, calcule, se existir, lim (x, y) (0,0) f(x, y) e discuta sobre a possibilidade ou não de tais funções serem estendidas continuamente para (0,0), definindo apropriadamente f(0,0), onde
f(x, y)=ln (x^2 cos ^2(1x^2+y^2)+3)
Sejam a, b, c in R, onde a neq 0 ou b neq 0.
Utilizando a definição de limite, prove formalmente que
lim (x, y) (x0, y0) a x+b y+c=a x0+b y0+c