Para as funções
abaixo indicadas, calcule, se existir,
e discuta sobre a possibilidade ou não de tais funções serem estendidas continuamente para
, definindo apropriadamente
, onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a função:
O que a gente precisa fazer é calcular o limite dessa função quando
se aproxima de
. Além disso, vamos ver se dá pra estender essa função de forma contínua nesse ponto, ou seja, definir
de um jeito que a função fique “suave” ali.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte dentro do logaritmo:
Queremos ver o que esse pedaço todo vale quando
vai para
. Observa que tanto o numerador quanto o denominador vão para zero, o que pode dar uma situação complicada. Então, vamos tentar simplificar isso.
Passo 3
Vamos separar a fração em termos mais simples:
Agora, a ideia é ver o comportamento de cada termo quando
se aproxima de
.
Passo 4
Vamos analisar cada fração:
Note que
e
são sempre menores ou iguais a 1, pois o denominador é a soma dos numeradores.
Quando
:
Passo 5
Então, toda a expressão dentro do logaritmo fica:
Portanto, quando
se aproxima de
, temos:
Resposta
Como o limite existe e é igual a
, podemos estender a função continuamente para
definindo:
Exercícios relacionados
Use o item 7 para provar que
onde
é definida por
Para as funções
abaixo indicadas, mostre que
existe e calcule o seu valor, onde
Para as funções
abaixo indicadas, calcule, se existir,
e discuta sobre a possibilidade ou não de tais funções serem estendidas continuamente para
, definindo apropriadamente
, onde
Sejam
, onde
ou
.
Utilizando a definição de limite, prove formalmente que
Utilizando a definição de limite, prove formalmente que