Para as funções
abaixo indicadas, mostre que
existe e calcule o seu valor, onde
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis,
, definida para todos os pontos
exceto
. Precisamos mostrar que o limite dessa função existe quando
se aproxima de
e encontrar o valor desse limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como limites e propriedades das funções contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece com a expressão dentro do cosseno, ou seja,
, quando
se aproxima de
. Para facilitar, podemos converter para coordenadas polares, onde
e
. Substituindo na expressão:
Como
tende a 0 quando
se aproxima de
, e
é limitado (sempre entre -2 e 2), temos que a expressão
também tende a 0.
Passo 3
Agora que sabemos que
tende a 0, podemos usar a propriedade da continuidade da função cosseno. A função
é contínua em todos os pontos, inclusive em
. Isso significa que:
Substituindo
pela nossa expressão que tende a 0, temos:
Resposta
O limite existe e é igual a
.
Exercícios relacionados
Seja
um conjunto não vazio e seja
.
Assuma que são tais que
Assuma que
e
onde
.
Prove que existe tal que se
e
, então
Prove que existe
Dica: Defina
.
Prove que é contínua em todo o
.
Prove que
Para as funções
abaixo indicadas, mostre que
existe e calcule o seu valor, onde
Use o item 7 para provar que
onde
é definida por
Para as funções
abaixo indicadas, calcule, se existir,
e discuta sobre a possibilidade ou não de tais funções serem estendidas continuamente para
, definindo apropriadamente
, onde