Para as funções f: R^2 backslash(0,0) R abaixo indicadas, mostre que lim (x, y) (0,0) f(x, y) existe e calcule o seu valor, onde
f(x, y)=cos (x^3-y^3x^2+y^2)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, , definida para todos os pontos exceto . Precisamos mostrar que o limite dessa função existe quando se aproxima de e encontrar o valor desse limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como limites e propriedades das funções contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece com a expressão dentro do cosseno, ou seja, x^3 - y^3x^2 + y^2 = (r costheta)^3 - (r sintheta)^3(r costheta)^2 + (r sintheta)^2 = r^3 (cos^3theta - sin^3theta)r^2 (cos^2theta + sin^2theta) = r (cos^3theta - sin^3theta) , quando se aproxima de . Para facilitar, podemos converter para coordenadas polares, onde e . Substituindo na expressão:
Como tende a 0 quando se aproxima de , e é limitado (sempre entre -2 e 2), temos que a expressão também tende a 0.

Passo 3

Agora que sabemos que limu to 0 cos(u) = cos(0) = 1 tende a 0, podemos usar a propriedade da continuidade da função cosseno. A função lim(x, y) to (0, 0) cos(x^3 - y^3x^2 + y^2) = cos(lim(x, y) to (0, 0) x^3 - y^3x^2 + y^2) = cos(0) = 1 é contínua em todos os pontos, inclusive em . Isso significa que:
Substituindo pela nossa expressão que tende a 0, temos:

Resposta

O limite existe e é igual a .

Exercícios relacionados

Seja D subset R^n um conjunto não vazio e seja x0 in D^prime.
Assuma que f, g: D R são tais que
lim x x0 f(x)=L in R
e
lim x x0 g(x)=M in R
onde L.
Prove que existe de0 tal que se x in D e 0<|x-x0|, então
f(x)
Dica: Defina varepsilon=M-L2.
Prove que f é contínua em todo o R^2.
Para as funções f: R^2 backslash(0,0) R abaixo indicadas, mostre que lim (x, y) (0,0) f(x, y) existe e calcule o seu valor, onde
f(x, y)=x^2 y+x y^2x^2+y^2
Use o item 7 para provar que
lim (x, y) (0,0) f(x, y)=0
onde f: R^2 R é definida por
f(x, y)= (x^2+y^2+x-y) sin (1x^2+y^2), & se (x, y) neq(0,0) 5, & se (x, y)=(0,0)
Para as funções f: R^2 backslash(0,0) R abaixo indicadas, calcule, se existir, lim (x, y) (0,0) f(x, y) e discuta sobre a possibilidade ou não de tais funções serem estendidas continuamente para (0,0), definindo apropriadamente f(0,0), onde
f(x, y)=ln (3 x^4-x^2 y^2+3 y^4x^2+y^2+2),