Sejam a, b, c in R, onde a neq 0 ou b neq 0.
Utilizando a definição de limite, prove formalmente que
lim (x, y) (x0, y0) a x+b y+c=a x0+b y0+c

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de limites para funções de duas variáveis, que no caso é a função . A gente precisa provar, usando a definição de limite, que quando se aproxima de , o limite dessa função é . Para resolver isso, vamos precisar entender bem a definição de limite para funções de duas variáveis e aplicar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a definição de limite para funções de duas variáveis. Dizemos que:
lim(x, y) to (x0, y0) f(x, y) = L
significa que, dado qualquer , existe um tal que sempre que a distância entre e for menor que (ou seja, ), então a diferença entre e será menor que ( ).
Então, para provar nosso limite, precisamos mostrar que para todo , podemos encontrar um que satisfaça essa condição para a função e .

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa função. Queremos mostrar que:
lim(x, y) to (x0, y0) a x + b y + c = a x0 + b y0 + c
Começamos calculando a diferença |a x + b y + c - (a x0 + b y0 + c)| = |a (x - x0) + b (y - y0)| :
|a (x - x0) + b (y - y0)| <= |a||x - x0| + |b||y - y0|
Agora, usando a propriedade do módulo (valor absoluto), podemos aplicar a desigualdade triangular:
de
Agora, queremos que isso seja menor que |a||x - x0| + |b||y - y0| < |a|de. Para facilitar, podemos escolher de forma que tanto quanto sejam menores que , e então controlar a expressão acima.
Vamos tomar:
Assim, se , então e .
Substituindo na desigualdade:
Portanto, conseguimos garantir que sempre que estiver dentro de de .

Resposta

Portanto, usando a definição de limite, mostramos que:
lim(x, y) to (x0, y0) a x + b y + c = a x0 + b y0 + c

Exercícios relacionados

Para as funções f: R^2 backslash(0,0) R abaixo indicadas, calcule, se existir, lim (x, y) (0,0) f(x, y) e discuta sobre a possibilidade ou não de tais funções serem estendidas continuamente para (0,0), definindo apropriadamente f(0,0), onde
f(x, y)=ln (x^2 cos ^2(1x^2+y^2)+3)
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f(x, y)=ln (3 x^4-x^2 y^2+3 y^4x^2+y^2+2),
Resolva em R as inequações abaixo:
(a) raiz(3x - 2) < 2;
Resolva em R as inequações simultâneas abaixo:
(a) 4 < x^2 - 12 <= 4 x;