Sejam
, onde
ou
.
Utilizando a definição de limite, prove formalmente que
Utilizando a definição de limite, prove formalmente que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de limites para funções de duas variáveis, que no caso é a função
. A gente precisa provar, usando a definição de limite, que quando
se aproxima de
, o limite dessa função é
. Para resolver isso, vamos precisar entender bem a definição de limite para funções de duas variáveis e aplicar isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a definição de limite para funções de duas variáveis. Dizemos que:
significa que, dado qualquer
, existe um
tal que sempre que a distância entre
e
for menor que
(ou seja,
), então a diferença entre
e
será menor que
(
).
Então, para provar nosso limite, precisamos mostrar que para todo
, podemos encontrar um
que satisfaça essa condição para a função
e
.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa função. Queremos mostrar que:
Começamos calculando a diferença
:
Agora, usando a propriedade do módulo (valor absoluto), podemos aplicar a desigualdade triangular:
Agora, queremos que isso seja menor que
. Para facilitar, podemos escolher
de forma que tanto
quanto
sejam menores que
, e então controlar a expressão acima.
Vamos tomar:
Assim, se
, então
e
.
Substituindo na desigualdade:
Portanto, conseguimos garantir que
sempre que
estiver dentro de
de
.
Resposta
Portanto, usando a definição de limite, mostramos que:
Exercícios relacionados
Para as funções
abaixo indicadas, calcule, se existir,
e discuta sobre a possibilidade ou não de tais funções serem estendidas continuamente para
, definindo apropriadamente
, onde
Para as funções
abaixo indicadas, calcule, se existir,
e discuta sobre a possibilidade ou não de tais funções serem estendidas continuamente para
, definindo apropriadamente
, onde
Resolva em
as inequações abaixo:
(a) ;
(a)
Resolva em
as inequações simultâneas abaixo:
(a) ;
(a)