Para as funções
abaixo indicadas, calcule, se existir,
e discuta sobre a possibilidade ou não de tais funções serem estendidas continuamente para
, definindo apropriadamente
, onde
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o limite da função
quando
se aproxima de
. Além disso, precisamos ver se dá para estender essa função de forma contínua para o ponto
, ou seja, definir um valor para
que faça a função continuar suave nesse ponto.
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites de funções de duas variáveis, continuidade, e algumas propriedades das funções trigonométricas e logarítmicas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento da parte dentro do logaritmo:
.
Sabemos que o cosseno ao quadrado,
, sempre está entre 0 e 1 para qualquer
. Então, independente dos valores de
e
,
vai variar entre 0 e 1.
Passo 3
Multiplicando isso por
, temos que
estará entre
e
. Ou seja:
Passo 4
Agora, somando 3 em todas as partes da desigualdade:
Isso mostra que a expressão dentro do logaritmo está sempre entre 3 e
.
Passo 5
Queremos ver o que acontece quando
. Quando
se aproxima de
,
também se aproxima de 0. Portanto,
se aproxima de 3.
Então, temos:
Passo 6
Agora, aplicando a continuidade do logaritmo natural. Sabemos que se uma sequência
converge para
, então
converge para
, desde que
.
Aqui,
está sempre maior que 3, então podemos aplicar o logaritmo.
Passo 7
Portanto:
Passo 8
Agora, para estender a função
continuamente para o ponto
, basta definir
.
Assim, a função fica contínua em todo o domínio, incluindo o ponto
.
Resposta
O limite existe e é igual a
. Além disso, a função pode ser estendida continuamente para
definindo
.
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Para as funções
abaixo indicadas, calcule, se existir,
e discuta sobre a possibilidade ou não de tais funções serem estendidas continuamente para
, definindo apropriadamente
, onde
Use o item 7 para provar que
onde
é definida por
Sejam
, onde
ou
.
Utilizando a definição de limite, prove formalmente que
Utilizando a definição de limite, prove formalmente que
Resolva em
as inequações abaixo:
(a) ;
(a)