Para as funções f: R^2 backslash(0,0) R abaixo indicadas, calcule, se existir, lim (x, y) (0,0) f(x, y) e discuta sobre a possibilidade ou não de tais funções serem estendidas continuamente para (0,0), definindo apropriadamente f(0,0), onde
f(x, y)=ln (x^2 cos ^2(1x^2+y^2)+3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o limite da função quando se aproxima de . Além disso, precisamos ver se dá para estender essa função de forma contínua para o ponto , ou seja, definir um valor para que faça a função continuar suave nesse ponto.
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre limites de funções de duas variáveis, continuidade, e algumas propriedades das funções trigonométricas e logarítmicas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento da parte dentro do logaritmo: .
Sabemos que o cosseno ao quadrado, , sempre está entre 0 e 1 para qualquer . Então, independente dos valores de e , vai variar entre 0 e 1.

Passo 3

Multiplicando isso por 0 <= x^2 cos^2(1x^2+y^2) <= x^2 , temos que estará entre e . Ou seja:

Passo 4

Agora, somando 3 em todas as partes da desigualdade:
3 <= x^2 cos^2(1x^2+y^2) + 3 <= 3 + x^2
Isso mostra que a expressão dentro do logaritmo está sempre entre 3 e .

Passo 5

Queremos ver o que acontece quando 3 <= x^2 cos^2(1x^2+y^2) + 3 <= 3 + x^2 to 3 quando (x, y) to (0,0) . Quando se aproxima de , também se aproxima de 0. Portanto, se aproxima de 3.
Então, temos:

Passo 6

Agora, aplicando a continuidade do logaritmo natural. Sabemos que se uma sequência converge para , então converge para , desde que .
Aqui, está sempre maior que 3, então podemos aplicar o logaritmo.

Passo 7

Portanto:
lim(x, y) to (0,0) f(x, y) = lim(x, y) to (0,0) ln (x^2 cos^2(1x^2+y^2)+3) = ln(3)

Passo 8

Agora, para estender a função continuamente para o ponto , basta definir .
Assim, a função fica contínua em todo o domínio, incluindo o ponto .

Resposta

O limite existe e é igual a . Além disso, a função pode ser estendida continuamente para definindo .

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Para as funções f: R^2 backslash(0,0) R abaixo indicadas, calcule, se existir, lim (x, y) (0,0) f(x, y) e discuta sobre a possibilidade ou não de tais funções serem estendidas continuamente para (0,0), definindo apropriadamente f(0,0), onde
f(x, y)=ln (3 x^4-x^2 y^2+3 y^4x^2+y^2+2),
Use o item 7 para provar que
lim (x, y) (0,0) f(x, y)=0
onde f: R^2 R é definida por
f(x, y)= (x^2+y^2+x-y) sin (1x^2+y^2), & se (x, y) neq(0,0) 5, & se (x, y)=(0,0)
Sejam a, b, c in R, onde a neq 0 ou b neq 0.
Utilizando a definição de limite, prove formalmente que
lim (x, y) (x0, y0) a x+b y+c=a x0+b y0+c
Resolva em R as inequações abaixo:
(a) raiz(3x - 2) < 2;