Determine a área da região do primeiro quadrante, delimitada pelos gráficos das funçõoes e e pelos eixos coordenados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a área da região no primeiro quadrante que está delimitada pelas funções , e pelos eixos coordenados. Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo, especificamente sobre encontrar áreas entre curvas usando integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde as duas funções se encontram, ou seja, vamos achar os valores de onde .
Então, igualamos as duas funções:
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos multiplicar ambos os lados por para eliminar o denominador:
Passo 4
Agora, vamos expandir o lado direito da equação:
Simplificando os termos semelhantes:
Passo 5
Vamos reorganizar a equação para trazermos tudo para um lado e termos uma equação quadrática igual a zero:
Passo 6
Agora, resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, as soluções são:
Passo 7
Então, as funções se intersectam nos pontos e . Agora, vamos determinar até onde integraremos para encontrar a área. Observe que no primeiro quadrante, precisamos considerar os eixos coordenados, então também vamos verificar onde cada função cruza os eixos.
Para :
Quando , . Então, cruza o eixo em .
Para :
Quando , . Então, cruza o eixo em .
Passo 8
Agora, vamos identificar qual função está acima da outra no intervalo de integração a .
Podemos testar um valor dentro desse intervalo, por exemplo, :
Como , a função está acima da nesse intervalo.
Passo 9
Com isso, a área entre as duas curvas de a é dada pela integral da diferença das funções:
Passo 10
Vamos resolver a integral:
Calculando cada integral separadamente:
Passo 11
Agora, somando tudo:
Resposta
A área da região no primeiro quadrante delimitada pelas funções , e pelos eixos coordenados é: