2,0 Determine a área da região do primeiro quadrante, delimitada pelos gráficos das funçõoes f(x) = 12 / (x + 1) e g(x) = 7 - x e pelos eixos coordenados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a área da região no primeiro quadrante que está delimitada pelas funções , e pelos eixos coordenados. Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo, especificamente sobre encontrar áreas entre curvas usando integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde as duas funções se encontram, ou seja, vamos achar os valores de onde .
Então, igualamos as duas funções:

Passo 3

Para resolver essa equação, vamos multiplicar ambos os lados por para eliminar o denominador:

Passo 4

Agora, vamos expandir o lado direito da equação:
Simplificando os termos semelhantes:

Passo 5

Vamos reorganizar a equação para trazermos tudo para um lado e termos uma equação quadrática igual a zero:

Passo 6

Agora, resolvemos a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Portanto, as soluções são:

Passo 7

Então, as funções se intersectam nos pontos e . Agora, vamos determinar até onde integraremos para encontrar a área. Observe que no primeiro quadrante, precisamos considerar os eixos coordenados, então também vamos verificar onde cada função cruza os eixos.
Para :
  • Quando , . Então, cruza o eixo em .
Para :
  • Quando , . Então, cruza o eixo em .

Passo 8

Agora, vamos identificar qual função está acima da outra no intervalo de integração a .
Podemos testar um valor dentro desse intervalo, por exemplo, :
Como , a função está acima da nesse intervalo.

Passo 9

Com isso, a área entre as duas curvas de a é dada pela integral da diferença das funções:

Passo 10

Vamos resolver a integral:
Calculando cada integral separadamente:

Passo 11

Agora, somando tudo:

Resposta

A área da região no primeiro quadrante delimitada pelas funções , e pelos eixos coordenados é:

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