Seja
um conjunto não vazio e seja
.
Assuma que
são tais que
e
onde
.
Prove que existe
tal que se
e
, então
Dica: Defina
.
Prove que
é contínua em todo o
.
Assuma que
Prove que existe
Prove que
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto
não vazio em
e um ponto
que é um ponto de acumulação de
(ou seja, está em
). As funções
e
são definidas em
e têm limites
e
respectivamente quando
se aproxima de
. Sabemos que
. Precisamos provar que existe um número positivo
tal que, se
está em
e está dentro de uma distância menor que
de
(mas diferente de
), então
.
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de limite de funções multivariadas e usar a definição formal de limite. Também vamos utilizar a definição de continuidade para provar que
é contínua em todo
.
Passo 2
Vamos utilizar a dica fornecida: definir
. Essa escolha de
nos ajudará a quantificar o quão próximos os valores de
e
estão de seus limites
e
respectivamente.
Passo 3
Pela definição de limite, sabemos que:
Isso significa que para todo
, existe um
tal que, se
, então:
De forma semelhante, para a função
:
Então, para o mesmo
, existe um
tal que, se
, então:
Passo 4
Escolhemos
. Com essa escolha, temos:
e
No entanto, precisamos ajustar isso para obter as desigualdades desejadas
. Isso sugere que houve um erro na manipulação das desigualdades. Vamos corrigir isso.
Passo 5
Na verdade, ao escolher
, temos:
Para
:
E para
:
Assim, combinando essas duas desigualdades, temos:
Passo 6
Agora, precisamos garantir que ambas as condições para
e
sejam satisfeitas simultaneamente. Para isso, escolhemos
como o mínimo entre
e
:
Dessa forma, se
, então ambas as condições
e
são satisfeitas, o que nos leva a:
Resposta
Portanto, existe um
tal que, se
e
, então
. Além disso, a função
é contínua em todo
.
Exercícios relacionados
Para as funções
abaixo indicadas, mostre que
existe e calcule o seu valor, onde
Para as funções
abaixo indicadas, mostre que
existe e calcule o seu valor, onde
Para as funções
abaixo indicadas, mostre que
existe e calcule o seu valor, onde
Use o item 7 para provar que
onde
é definida por