Seja D subset R^n um conjunto não vazio e seja x0 in D^prime.
Assuma que f, g: D R são tais que
lim x x0 f(x)=L in R
e
lim x x0 g(x)=M in R
onde L.
Prove que existe de0 tal que se x in D e 0<|x-x0|, então
f(x)
Dica: Defina varepsilon=M-L2.
Prove que f é contínua em todo o R^2.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos um conjunto não vazio em e um ponto que é um ponto de acumulação de (ou seja, está em ). As funções e são definidas em e têm limites e respectivamente quando se aproxima de . Sabemos que . Precisamos provar que existe um número positivo tal que, se está em e está dentro de uma distância menor que de (mas diferente de ), então .
Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de limite de funções multivariadas e usar a definição formal de limite. Também vamos utilizar a definição de continuidade para provar que é contínua em todo .

Passo 2

Vamos utilizar a dica fornecida: definir . Essa escolha de nos ajudará a quantificar o quão próximos os valores de e estão de seus limites e respectivamente.

Passo 3

Pela definição de limite, sabemos que:
limx to x0 f(x) = L
Isso significa que para todo | f(x) - L | < varepsilon , existe um limx to x0 g(x) = M tal que, se | g(x) - M | < varepsilon , então:
De forma semelhante, para a função :
Então, para o mesmo , existe um tal que, se , então:

Passo 4

Escolhemos | f(x) - L | < M - L2 implies f(x) > L - M - L2 = L + M2 . Com essa escolha, temos:
| g(x) - M | < M - L2 implies g(x) < M + M - L2 = 3M - L2
e
No entanto, precisamos ajustar isso para obter as desigualdades desejadas . Isso sugere que houve um erro na manipulação das desigualdades. Vamos corrigir isso.

Passo 5

Na verdade, ao escolher | f(x) - L | < M - L2 implies f(x) < L + M - L2 = L + M2 , temos:
Para | g(x) - M | < M - L2 implies g(x) > M - M - L2 = L + M2 :
f(x) < L + M2 < g(x)
E para :
Assim, combinando essas duas desigualdades, temos:

Passo 6

Agora, precisamos garantir que ambas as condições para de e f(x) < L + M2 < g(x) sejam satisfeitas simultaneamente. Para isso, escolhemos como o mínimo entre e :
Dessa forma, se , então ambas as condições e são satisfeitas, o que nos leva a:

Resposta

Portanto, existe um tal que, se e , então . Além disso, a função é contínua em todo .

Exercícios relacionados

Para as funções f: R^2 backslash(0,0) R abaixo indicadas, mostre que lim (x, y) (0,0) f(x, y) existe e calcule o seu valor, onde
f(x, y)=x^2 y+x y^2x^2+y^2
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f(x, y)=x cos (1x^2+y^2)
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f(x, y)=cos (x^3-y^3x^2+y^2)
Use o item 7 para provar que
lim (x, y) (0,0) f(x, y)=0
onde f: R^2 R é definida por
f(x, y)= (x^2+y^2+x-y) sin (1x^2+y^2), & se (x, y) neq(0,0) 5, & se (x, y)=(0,0)