Para as funções f: R^2 backslash(0,0) R abaixo indicadas, mostre que lim (x, y) (0,0) f(x, y) existe e calcule o seu valor, onde
f(x, y)=x^2 y+x y^2x^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis f(x, y) = x^2 y + x y^2x^2 + y^2 e queremos descobrir se o limite dessa função quando (x, y) se aproxima de (0,0) existe. Se existir, também vamos calcular o valor desse limite. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de cálculo de limites em funções de várias variáveis, como analisar diferentes caminhos de aproximação e, talvez, usar coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o limite existir. Em funções de duas variáveis, o limite lim(x, y) to (0,0) f(x, y) existe se, independente do caminho que a gente escolher para chegar em (0,0), o valor de f(x, y) se aproxima do mesmo número.
Vamos então testar alguns caminhos diferentes:
  1. Caminho ao longo do eixo x (y = 0):
    Substituindo y = 0 na função:
    f(x, 0) = x^2 cdot 0 + x cdot 0^2x^2 + 0^2 = 0x^2 = 0
    Então, pelo eixo x, o limite é 0.
  2. Caminho ao longo do eixo y (x = 0):
    Substituindo x = 0 na função:
    f(0, y) = 0^2 cdot y + 0 cdot y^20^2 + y^2 = 0y^2 = 0
    Pelo eixo y, o limite também é 0.
Até agora, parece que o limite é 0, mas precisamos verificar outros caminhos para ter certeza.

Passo 3

Vamos tentar um caminho mais geral, como uma reta que passa por (0,0), por exemplo y = kx, onde k é uma constante.
Substituindo y = kx na função:
f(x, kx) = x^2 cdot kx + x cdot (kx)^2x^2 + (kx)^2 = kx^3 + k^2x^3x^2 + k^2x^2 = x^3(k + k^2)x^2(1 + k^2) = x(k + k^2)1 + k^2
Agora, vamos calcular o limite quando x to 0:
limx to 0 x(k + k^2)1 + k^2 = 0
Independente do valor de k, o limite é 0.
Isso reforça a ideia de que o limite pode ser 0, mas ainda não garantimos que não há outro caminho que dê um limite diferente.

Passo 4

Para garantir que o limite é realmente 0, vamos usar coordenadas polares, que são uma maneira eficiente de analisar limites em múltiplas direções ao mesmo tempo.
Em coordenadas polares, temos:
x = r cos theta y = r sin theta
onde r é a distância até a origem e theta é o ângulo.
Substituindo na função:
f(r, theta) = (r cos theta)^2 cdot r sin theta + r cos theta cdot (r sin theta)^2(r cos theta)^2 + (r sin theta)^2 = r^3 cos^2 theta sin theta + r^3 cos theta sin^2 thetar^2 (cos^2 theta + sin^2 theta)
Sabemos que cos^2 theta + sin^2 theta = 1, então simplificamos:
f(r, theta) = r^3 (cos^2 theta sin theta + cos theta sin^2 theta)r^2 = r (cos^2 theta sin theta + cos theta sin^2 theta)
Agora, para encontrar o limite quando (x, y) to (0,0), equivalente a r to 0:
limr to 0 r (cos^2 theta sin theta + cos theta sin^2 theta) = 0 cdot (cos^2 theta sin theta + cos theta sin^2 theta) = 0
Isso mostra que, independente do valor de theta, o limite é 0 quando r to 0.

Resposta

O limite lim (x, y) (0,0) x^2 y + x y^2x^2+y^2 existe e é igual a 0.

Exercícios relacionados

Para as funções f: R^2 backslash(0,0) R abaixo indicadas, mostre que lim (x, y) (0,0) f(x, y) existe e calcule o seu valor, onde
f(x, y)=x cos (1x^2+y^2)
Para as funções abaixo indicadas, mostre que lim (x, y) (0,0) f(x, y) não existe, onde
f(x, y)=x^9 y(x^6+y^2)^2
Seja D subset R^n um conjunto não vazio e seja x0 in D^prime.
Assuma que f, g: D R são tais que
lim x x0 f(x)=L in R
e
lim x x0 g(x)=M in R
onde L.
Prove que existe de0 tal que se x in D e 0<|x-x0|, então
f(x)
Dica: Defina varepsilon=M-L2.
Prove que f é contínua em todo o R^2.
Para as funções f: R^2 backslash(0,0) R abaixo indicadas, mostre que lim (x, y) (0,0) f(x, y) existe e calcule o seu valor, onde
f(x, y)=cos (x^3-y^3x^2+y^2)