Para as funções
abaixo indicadas, mostre que
existe e calcule o seu valor, onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função de duas variáveis
e queremos descobrir se o limite dessa função quando
se aproxima de
existe. Se existir, também vamos calcular o valor desse limite. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de cálculo de limites em funções de várias variáveis, como analisar diferentes caminhos de aproximação e, talvez, usar coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o limite existir. Em funções de duas variáveis, o limite
existe se, independente do caminho que a gente escolher para chegar em
, o valor de
se aproxima do mesmo número.
Vamos então testar alguns caminhos diferentes:
-
Caminho ao longo do eixo
(y = 0): Substituindona função: Então, pelo eixo, o limite é . -
Caminho ao longo do eixo
(x = 0): Substituindona função: Pelo eixo, o limite também é .
Até agora, parece que o limite é
, mas precisamos verificar outros caminhos para ter certeza.
Passo 3
Vamos tentar um caminho mais geral, como uma reta que passa por
, por exemplo
, onde
é uma constante.
Substituindo
na função:
Agora, vamos calcular o limite quando
:
Independente do valor de
, o limite é
.
Isso reforça a ideia de que o limite pode ser
, mas ainda não garantimos que não há outro caminho que dê um limite diferente.
Passo 4
Para garantir que o limite é realmente
, vamos usar coordenadas polares, que são uma maneira eficiente de analisar limites em múltiplas direções ao mesmo tempo.
Em coordenadas polares, temos:
onde
é a distância até a origem e
é o ângulo.
Substituindo na função:
Sabemos que
, então simplificamos:
Agora, para encontrar o limite quando
, equivalente a
:
Isso mostra que, independente do valor de
, o limite é
quando
.
Resposta
O limite
existe e é igual a
.
Exercícios relacionados
Para as funções
abaixo indicadas, mostre que
existe e calcule o seu valor, onde
Para as funções abaixo indicadas, mostre que
não existe, onde
Seja
um conjunto não vazio e seja
.
Assuma que são tais que
Assuma que
e
onde
.
Prove que existe tal que se
e
, então
Prove que existe
Dica: Defina
.
Prove que é contínua em todo o
.
Prove que
Para as funções
abaixo indicadas, mostre que
existe e calcule o seu valor, onde