Para as funções dada abaixo, faça um esboço de seu gráfico e determine seu domínio e imagem:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para esboçarmos o gráfico da função
e determinar seu domínio e imagem. Vamos usar conceitos de funções quadráticas e propriedades das funções radicais para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
para os quais a função está definida. Como temos uma raiz quadrada, o que está dentro dela deve ser maior ou igual a zero. Então, vamos resolver a inequação:
Passo 3
Resolvendo a inequação:
Portanto, o domínio de
é o intervalo
.
Passo 4
Agora, vamos determinar a imagem da função, ou seja, os valores que
pode assumir. Observando a expressão de
:
Sabemos que a raiz quadrada sempre dá um resultado não negativo. Então,
varia de 0 a
. Multiplicando por
:
Subtraindo 2:
Assim, a imagem de
é o intervalo
.
Passo 5
Para esboçar o gráfico, vamos identificar alguns pontos importantes dentro do domínio
:
- Quando
:
- Quando
ou :
Podemos notar que o gráfico é simétrico em relação ao eixo
, já que a função depende de
.
Além desses pontos, podemos calcular valores intermediários para ter uma ideia mais clara da forma do gráfico. Porém, com esses pontos, já vemos que a função descreve uma semicírculo descendo de 0 até -2.
Resposta
O domínio da função é
, a imagem é
, e o esboço do gráfico é um semicírculo com centro em
e raio 2, variando de
a
.
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