Para as funções dada abaixo, faça um esboço de seu gráfico e determine seu domínio e imagem:
f(x) = -2 + (1 / 2) * raiz(16 - 4 * x^2)

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para esboçarmos o gráfico da função e determinar seu domínio e imagem. Vamos usar conceitos de funções quadráticas e propriedades das funções radicais para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio são todos os valores de para os quais a função está definida. Como temos uma raiz quadrada, o que está dentro dela deve ser maior ou igual a zero. Então, vamos resolver a inequação:

Passo 3

Resolvendo a inequação:
Portanto, o domínio de é o intervalo .

Passo 4

Agora, vamos determinar a imagem da função, ou seja, os valores que pode assumir. Observando a expressão de :
Sabemos que a raiz quadrada sempre dá um resultado não negativo. Então, varia de 0 a . Multiplicando por :
Subtraindo 2:
Assim, a imagem de é o intervalo .

Passo 5

Para esboçar o gráfico, vamos identificar alguns pontos importantes dentro do domínio :
  • Quando :
  • Quando ou :
Podemos notar que o gráfico é simétrico em relação ao eixo , já que a função depende de .
Além desses pontos, podemos calcular valores intermediários para ter uma ideia mais clara da forma do gráfico. Porém, com esses pontos, já vemos que a função descreve uma semicírculo descendo de 0 até -2.

Resposta

O domínio da função é , a imagem é , e o esboço do gráfico é um semicírculo com centro em e raio 2, variando de a .

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