Para as funções potência abaixo, faça um esboço de seu gráfico, determine seu maior domínio possível, imagem e se são pares, ímpares ou sem paridade definida.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a função potência
. Vou te ajudar a fazer o esboço do gráfico, descobrir o domínio, a imagem e ver se a função é par, ímpar ou sem paridade definida. Para isso, vamos usar conceitos básicos de funções potenciais, domínio, imagem e paridade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Aqui, a função é
.
A expressão
pode ser reescrita como
. Para
, o denominador do expoente é 5, que é ímpar. Isso significa que podemos calcular a raiz quinta de qualquer número real, positivo ou negativo. Além disso,
sempre dá um valor não negativo. Portanto, o domínio da função é todos os números reais.
Domínio:
(todos os números reais)
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função, que é o conjunto dos valores possíveis de
.
Como
sempre é maior ou igual a zero (já que é uma raiz de um número quadrado), e temos um sinal negativo na frente,
será sempre menor ou igual a zero.
Imagem:
Passo 4
Vamos verificar se a função é par, ímpar ou sem paridade definida. Para isso, comparamos
com
.
Calculando
:
Como
e a raiz quinta de
é a mesma que a raiz quinta de
, temos:
Como
, a função é par.
Passo 5
Por último, vamos esboçar o gráfico da função
.
- Formato geral: A função
tem um gráfico que cresce lentamente para e é simétrica para por ser par. - Transformação: Como há um sinal negativo na frente, o gráfico de
será refletido em relação ao eixo , ou seja, ao invés de subir, ele desce. - Pontos chave: Passa pela origem (0,0) e tende a zero à medida que
cresce em valor absoluto.
Então, o gráfico será uma curva suave passando pela origem, descendo nos dois lados conforme
aumenta.
Resposta
A função
tem domínio em todos os números reais, imagem composta por valores menores ou iguais a zero, é uma função par, e seu gráfico consiste em uma curva simétrica em relação ao eixo
, refletida abaixo da origem.
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