Para as funções dadas abaixo, faça um esboço de seu gráfico indicando suas raízes reais, determine seu maior domínio possível e imagem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa analisar a função
. O que isso envolve? A gente vai:
- Encontrar as raízes reais da função, ou seja, os valores de
que fazem . - Determinar o maior domínio possível, que é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. - Descobrir a imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores de
.
Para isso, vamos usar conceitos de álgebra e análise de funções. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as raízes reais da função
. As raízes são os valores de
que tornam
. Então, vamos resolver a equação:
Isso é praticamente
. Para achar
, tiramos a quinta raiz de 32:
Sabemos que
, então:
Então, a única raiz real dessa função é
.
Passo 3
Agora, vamos pensar no domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
que a função pode aceitar sem problemas. Nossa função é
, que é um polinômio.
Polinômios são legais porque não têm restrições como divisão por zero ou raízes de números negativos (como acontece com funções quadradas, por exemplo). Isso significa que a gente pode colocar qualquer número real no lugar de
e obter um resultado válido.
Portanto, o domínio de
é:
Ou seja, todos os números reais.
Passo 4
Agora, vamos para a imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores de
. Para funções polinomiais de grau ímpar, como nossa função de quinto grau, o gráfico se comporta de uma forma específica:
- Quando
vai para , também vai para . - Quando
vai para , vai para .
Isso significa que a função pode produzir qualquer número real como saída. Não há limites para os valores que
pode assumir.
Portanto, a imagem de
é:
Ou seja, todos os números reais.
Resposta
A função
tem uma única raiz real em
, seu domínio é todos os números reais (
) e sua imagem também é todos os números reais (
).
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Para as funções
e
abaixo, faça o gráfico das funções
e
entre os valores de
que satisfazem
, indicando o ponto de máximo ou mínimo da função
, caso esteja no intervalo de interesse, e a imagem das duas no intervalo de interesse.
e
Para as funções abaixo, determine a expressão da inversa, seu domínio e imagem.
Para as funções racionais dadas abaixo, faça um esboço de seu gráfico, determine seu maior domínio possível e imagem:
Para as funções dada abaixo, faça um esboço de seu gráfico e determine seu domínio e imagem: