Para as funções racionais dadas abaixo, faça um esboço de seu gráfico, determine seu maior domínio possível e imagem:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de funções racionais juntos! O enunciado pede para a gente fazer o esboço do gráfico da função dada, além de determinar seu maior domínio possível e a imagem. A matéria que vamos usar aqui envolve funções racionais, e vamos precisar entender como analisar o domínio (os valores de
que a função pode aceitar) e a imagem (os valores de
que a função pode produzir). Também vamos precisar fatorar polinômios para simplificar a função.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar a função que nos foi dada:
Nosso primeiro objetivo é simplificar essa fração. Para isso, vamos fatorar o numerador e o denominador para ver se conseguimos cancelar algum termo.
Passo 3
Vamos começar fatorando o numerador:
Podemos fatorar um
em comum:
Agora, vamos tentar fatorar o polinômio cúbico dentro dos parênteses. Testando possíveis raízes (como
), encontramos que
é uma raiz. Então, podemos dividir o polinômio por
:
Portanto, o numerador fatorado fica:
Passo 4
Agora, vamos fatorar o denominador:
Fatorando um
:
Passo 5
Agora que temos o numerador e o denominador fatorados, podemos reescrever a função:
Observamos que o termo
está presente no numerador e no denominador, então podemos cancelar esse fator (desde que
):
Passo 6
Agora, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de
que não deixam o denominador igual a zero.
Nosso denominador original era
. Então, vamos resolver:
Portanto, o domínio da função é todos os números reais exceto
e
:
Passo 7
Para determinar a imagem da função, precisamos analisar quais valores
pode assumir. Observando a função simplificada:
Como o numerador é um polinômio de terceiro grau e o denominador é de primeiro grau, à medida que
tende a
,
tende a
ou
, indicando que a imagem cobre todos os valores reais exceto possivelmente alguns pontos específicos.
Além disso, como não há restrições adicionais após a simplificação, a imagem da função é:
Resposta
O domínio da função
é todos os números reais exceto
e
. A imagem da função é todos os números reais.
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