Para as funções racionais dadas abaixo, faça um esboço de seu gráfico, determine seu maior domínio possível e imagem:
f(x) = (2*x^4 - x^3 - 3*x^2 - x) / (2*x^2 + x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de funções racionais juntos! O enunciado pede para a gente fazer o esboço do gráfico da função dada, além de determinar seu maior domínio possível e a imagem. A matéria que vamos usar aqui envolve funções racionais, e vamos precisar entender como analisar o domínio (os valores de que a função pode aceitar) e a imagem (os valores de que a função pode produzir). Também vamos precisar fatorar polinômios para simplificar a função.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a função que nos foi dada:
Nosso primeiro objetivo é simplificar essa fração. Para isso, vamos fatorar o numerador e o denominador para ver se conseguimos cancelar algum termo.

Passo 3

Vamos começar fatorando o numerador:
Podemos fatorar um em comum:
Agora, vamos tentar fatorar o polinômio cúbico dentro dos parênteses. Testando possíveis raízes (como ), encontramos que é uma raiz. Então, podemos dividir o polinômio por :
Portanto, o numerador fatorado fica:

Passo 4

Agora, vamos fatorar o denominador:
Fatorando um :

Passo 5

Agora que temos o numerador e o denominador fatorados, podemos reescrever a função:
Observamos que o termo está presente no numerador e no denominador, então podemos cancelar esse fator (desde que ):

Passo 6

Agora, vamos determinar o domínio da função. O domínio são todos os valores de que não deixam o denominador igual a zero.
Nosso denominador original era . Então, vamos resolver:
Portanto, o domínio da função é todos os números reais exceto e :
í

Passo 7

Para determinar a imagem da função, precisamos analisar quais valores pode assumir. Observando a função simplificada:
Como o numerador é um polinômio de terceiro grau e o denominador é de primeiro grau, à medida que tende a , tende a ou , indicando que a imagem cobre todos os valores reais exceto possivelmente alguns pontos específicos.
Além disso, como não há restrições adicionais após a simplificação, a imagem da função é:

Resposta

O domínio da função é todos os números reais exceto e . A imagem da função é todos os números reais.

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Para as funções potência abaixo, faça um esboço de seu gráfico, determine seu maior domínio possível, imagem e se são pares, ímpares ou sem paridade definida.
f(x) = -x^0.4
Para as funções dada abaixo, faça um esboço de seu gráfico e determine seu domínio e imagem:
f(x) = -2 + (1 / 2) * raiz(16 - 4 * x^2)
Para as funções dada abaixo, faça um esboço de seu gráfico e determine seu domínio e imagem:
f(x) = (x + 3) / (x + 2)
Para as funções abaixo, determine a expressão da inversa, seu domínio e imagem.
f(x) = raiz(x^3 + 2)