Para as funções abaixo, determine a expressão da inversa, seu domínio e imagem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a função inversa de
, além de determinar o domínio e a imagem dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de funções inversas, que fazem com que a gente “desfaça” o que a função original faz. Vamos precisar saber como isolar
em uma equação e entender os conceitos de domínio (valores permitidos para
) e imagem (valores que
pode assumir).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. A função inversa, denotada por
, “inverte” o processo da função original. Ou seja, se
, então
. Para encontrar a inversa de
, vamos seguir esses passos:
-
Substituímos
por : -
Trocamos
por e por para começar a isolar :
Passo 3
Agora, vamos isolar
. Primeiro, elevamos ambos os lados da equação ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
Em seguida, isolamos
subtraindo 2 de ambos os lados:
Então, a função inversa é:
Passo 4
Agora, vamos determinar o domínio e a imagem da função inversa
.
Domínio da função inversa: É o conjunto de valores que
pode assumir na inversa. Como nossa função original
tem um domínio onde
, ou seja,
, a imagem dessa função será
. Já a imagem da função original se torna o domínio da inversa. Portanto, o domínio de
é
.
Imagem da função inversa: É o conjunto de valores que
pode assumir. A função
é um polinômio do segundo grau com a parábola voltada para cima. O valor mínimo ocorre quando
:
Portanto, a imagem da inversa é
.
Resposta
A função inversa é
. O domínio de
é
e a imagem é
.