Para as funções abaixo, determine a expressão da inversa, seu domínio e imagem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar a função inversa de , além de determinar o domínio e a imagem dessa função. Para isso, vamos usar conceitos de funções inversas, que fazem com que a gente “desfaça” o que a função original faz. Vamos precisar saber como isolar em uma equação e entender os conceitos de domínio (valores permitidos para ) e imagem (valores que pode assumir).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função inversa. A função inversa, denotada por , “inverte” o processo da função original. Ou seja, se , então . Para encontrar a inversa de , vamos seguir esses passos:
Substituímos por :
Trocamos por e por para começar a isolar :
Passo 3
Agora, vamos isolar . Primeiro, elevamos ambos os lados da equação ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
Em seguida, isolamos subtraindo 2 de ambos os lados:
Então, a função inversa é:
Passo 4
Agora, vamos determinar o domínio e a imagem da função inversa .
Domínio da função inversa: É o conjunto de valores que pode assumir na inversa. Como nossa função original tem um domínio onde , ou seja, , a imagem dessa função será . Já a imagem da função original se torna o domínio da inversa. Portanto, o domínio de é .
Imagem da função inversa: É o conjunto de valores que pode assumir. A função é um polinômio do segundo grau com a parábola voltada para cima. O valor mínimo ocorre quando :
Portanto, a imagem da inversa é .
Resposta
A função inversa é . O domínio de é e a imagem é .