Resolver o que é pedido
a) Um paralelepípedo é determinado pelos vetores e . Calcular seu volume e a altura relativa à base definida pelos vetores . Calcular o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos
b) vetores e seja igual a 33 . Calcular a altura desse paralelepípedo relativa à base definida por .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre paralelepípedos! A gente vai usar vetores para determinar o paralelepípedo e calcular o volume e altura relativos às bases dadas. Para isso, vamos precisar conhecer o produto vetorial e o produto misto, que nos ajuda a encontrar o volume. Também vamos usar algumas propriedades de geometria vetorial para achar a altura.
Passo 2
Parte a) Primeiro, vamos calcular o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores , e . O volume é dado pelo valor absoluto do produto misto desses vetores, que é igual ao determinante da matriz formada por eles:
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial :
Calculando o determinante:
Passo 4
Agora, fazemos o produto escalar :
Então, o volume é:
Passo 5
Agora, vamos calcular a altura relativa à base definida por e . Primeiro, precisamos encontrar a área da base. A área da base é dada pelo módulo do produto vetorial de e :
Calculando :
O módulo desse vetor é:
Passo 6
Sabemos que o volume é igual à área da base vezes a altura (). Já temos e . Então, a altura é:
Passo 7
Parte b) Agora, vamos encontrar o valor de tal que o volume do paralelepípedo determinado por , e seja igual a 33. Usamos novamente o produto misto:
Passo 8
Vamos calcular :
Passo 9
Fazemos o produto escalar :
O volume é o valor absoluto desse resultado igual a 33:
Passo 10
Resolvendo a equação:
Para a primeira equação:
Para a segunda equação:
Então, ou .
Passo 11
Vamos calcular a altura relativa à base definida por e usando . Primeiro, encontramos a área da base :
Calculando :
O módulo desse vetor é:
Passo 12
Sabemos que e . A altura é:
Resposta
a) O volume do paralelepípedo é 17 unidades cúbicas e a altura relativa à base definida por e é aproximadamente 3,106 unidades.
b) O valor de pode ser ou . A altura do paralelepípedo relativa à base definida por e é aproximadamente 3,497 unidades.