Calcule as integrais abaixo. Associe as técnicas de integração apropriadas para os cálculos de cada uma delas.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a primeira integral juntos! A questão pede para calcular a integral de em relação a . Vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos um produto de funções. Para isso, precisamos identificar qual parte será e qual será .
Passo 2
Primeiro, escolhemos:
(pois ao derivar, simplifica)
Agora, vamos derivar e integrar :
(porque a integral de é )
Passo 3
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo:
Passo 4
Simplificando a expressão:
A integral de é , então:
Passo 5
Vamos para a segunda integral: . Essa é uma integral imprópria com limites de 0 a infinito. Vamos usar a técnica de integração por partes ou reconhecer que é uma integral de uma função exponencial multiplicada por uma trigonométrica, o que pode ser resolvido usando a fórmula padrão para integrais do tipo .
Passo 6
A fórmula para essa integral é:
Aqui, e .
Passo 7
Substituindo na fórmula:
Passo 8
Terceira integral: . Vamos resolver essa integral usando integração por partes. Precisamos escolher e de forma estratégica.
Passo 9
Escolhemos:
(pois sua derivada é mais simples)
Então:
Passo 10
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo:
Passo 11
Quarta integral: . Vamos simplificar a expressão antes de integrar. Podemos fazer uma substituição para facilitar.
Passo 12
Vamos fazer a substituição:
Então:
Agora, substituindo na integral:
Passo 13
Simplificando a fração:
Então:
A segunda integral pode ser simplificada fazendo divisão polinomial:
Então:
Passo 14
Voltando à variável original :
Então:
Passo 15
Quinta integral: . Vamos resolver essa fração racional. Primeiro, vamos fatorar o denominador.
Passo 16
Fatorando o denominador:
Então, a integral fica:
Passo 17
Vamos usar frações parciais. Queremos escrever:
Multiplicando ambos os lados por :
Para encontrar e :
Se , então ⇒
Se , então ⇒
Passo 18
Então:
Integrando:
Passo 19
Sexta integral: . Vamos usar uma substituição trigonométrica ou uma substituição direta para simplificar.
Passo 20
Vamos tentar a substituição direta:
u = x^2 - 4
Então:
du = 2x dx
du2 = x dx
Passo 21
Substituindo na integral:
integral xraizx^2 - 4 dx = integral 1raizu cdot du2
= 12 integral u^-1/2 du
= 12 cdot 2u^1/2 + C
= raizu + C
= raizx^2 - 4 + C
Passo 22
Sétima integral: . Essa é uma integral imprópria com limites de 0 a infinito. Usaremos a fórmula para integrais do tipo .