Calcule as integrais abaixo. Associe as técnicas de integração apropriadas para os cálculos de cada uma delas.
& integral x sen 2 x d x & integral0^infty e^-x cos x d x & integral ln x d x & integral raiz[3]x+1raiz[3]x-1 d x & integral d xx^2-5 x+6 & integral xraizx^2-4 d x & integral0^infty e^-x sen x d x & integral d xx^2-3 x+2 & integral x cos 2 x d x & integral raiz[4]x+1raiz[4]x-1 d x & integral xraizx^2+4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a primeira integral juntos! A questão pede para calcular a integral de em relação a . Vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos um produto de funções. Para isso, precisamos identificar qual parte será e qual será .

Passo 2

Primeiro, escolhemos:
  • (pois ao derivar, simplifica)
Agora, vamos derivar e integrar :
  • (porque a integral de é )

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo:

Passo 4

Simplificando a expressão:
-x2 cos(2x) + 12 integral cos(2x) dx
A integral de -x2 cos(2x) + 12 cdot 12 sen(2x) + C é , então:

Passo 5

Vamos para a segunda integral: . Essa é uma integral imprópria com limites de 0 a infinito. Vamos usar a técnica de integração por partes ou reconhecer que é uma integral de uma função exponencial multiplicada por uma trigonométrica, o que pode ser resolvido usando a fórmula padrão para integrais do tipo .

Passo 6

A fórmula para essa integral é:
integral0^infty e^-ax cos(bx) dx = aa^2 + b^2
Aqui, e .

Passo 7

Substituindo na fórmula:
11^2 + 1^2 = 12

Passo 8

Terceira integral: . Vamos resolver essa integral usando integração por partes. Precisamos escolher e de forma estratégica.

Passo 9

Escolhemos:
  • (pois sua derivada é mais simples)
Então:

Passo 10

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo:
integral ln(x) dx = x ln(x) - integral x cdot 1x dx
= x ln(x) - integral 1 dx
= x ln(x) - x + C

Passo 11

Quarta integral: . Vamos simplificar a expressão antes de integrar. Podemos fazer uma substituição para facilitar.

Passo 12

Vamos fazer a substituição:
t = raiz[3]x
Então:
x = t^3
dx = 3t^2 dt
Agora, substituindo na integral:
integral t + 1t - 1 cdot 3t^2 dt
= 3 integral t + 1t - 1 t^2 dt

Passo 13

Simplificando a fração:
t + 1t - 1 = 1 + 2t - 1
Então:
3 integral (1 + 2t - 1) t^2 dt
= 3 integral t^2 dt + 6 integral t^2t - 1 dt
A segunda integral pode ser simplificada fazendo divisão polinomial:
t^2t - 1 = t + 1 + 1t - 1
Então:
3 integral t^2 dt + 6 integral ( t + 1 + 1t - 1 ) dt
= 3 ( t^33 ) + 6 ( t^22 + t + ln|t - 1| ) + C
= t^3 + 3t^2 + 6t + 6 ln|t - 1| + C

Passo 14

Voltando à variável original t^3 = x :
t^2 = raiz[3]x^2
t = raiz[3]x
x + 3raiz[3]x^2 + 6raiz[3]x + 6 ln|raiz[3]x - 1| + C
Então:

Passo 15

Quinta integral: . Vamos resolver essa fração racional. Primeiro, vamos fatorar o denominador.

Passo 16

Fatorando o denominador:
x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)
Então, a integral fica:
integral dx(x - 2)(x - 3)

Passo 17

Vamos usar frações parciais. Queremos escrever:
1(x - 2)(x - 3) = Ax - 2 + Bx - 3
Multiplicando ambos os lados por 1 = A(x - 3) + B(x - 2) :
Para encontrar e :
  • Se , então
  • Se , então

Passo 18

Então:
1(x - 2)(x - 3) = -1x - 2 + 1x - 3
Integrando:
integral ( -1x - 2 + 1x - 3 ) dx = -ln|x - 2| + ln|x - 3| + C
= ln| x - 3x - 2 | + C

Passo 19

Sexta integral: . Vamos usar uma substituição trigonométrica ou uma substituição direta para simplificar.

Passo 20

Vamos tentar a substituição direta:
u = x^2 - 4
Então:
du = 2x dx
du2 = x dx

Passo 21

Substituindo na integral:
integral xraizx^2 - 4 dx = integral 1raizu cdot du2
= 12 integral u^-1/2 du
= 12 cdot 2u^1/2 + C
= raizu + C
= raizx^2 - 4 + C

Passo 22

Sétima integral: . Essa é uma integral imprópria com limites de 0 a infinito. Usaremos a fórmula para integrais do tipo .

Passo 23

A fórmula para essa integral é:
Aqui, integral0^infty e^-ax sen(bx) dx = ba^2 + b^2 e .

Passo 24

Substituindo na fórmula:
11^2 + 1^2 = 12

Passo 25

Oitava integral: . Novamente, temos uma fração racional. Vamos fatorar o denominador.

Passo 26

Fatorando o denominador:
x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)
Então, a integral fica:
integral dx(x - 1)(x - 2)

Passo 27

Usaremos frações parciais:
1(x - 1)(x - 2) = Ax - 1 + Bx - 2
Multiplicando ambos os lados por 1 = A(x - 2) + B(x - 1) :
Para encontrar e :
  • Se , então
  • Se , então

Passo 28

Então:
1(x - 1)(x - 2) = -1x - 1 + 1x - 2
Integrando:
integral ( -1x - 1 + 1x - 2 ) dx = -ln|x - 1| + ln|x - 2| + C
= ln| x - 2x - 1 | + C

Passo 29

Nona integral: . Vamos usar integração por partes, já que temos um produto de e .

Passo 30

Escolhemos:
Então:

Passo 31

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Substituindo:

Passo 32

Décima integral: . Vamos simplificar essa expressão antes de integrar, possivelmente fazendo uma substituição.

Passo 33

Vamos definir:
t = raiz[4]x
Então:
x = t^4
dx = 4t^3 dt
Substituindo na integral:
integral t + 1t - 1 cdot 4t^3 dt
= 4 integral t + 1t - 1 t^3 dt

Passo 34

Simplificando a fração:
t + 1t - 1 = 1 + 2t - 1
Então:
4 integral (1 + 2t - 1) t^3 dt
= 4 integral t^3 dt + 8 integral t^3t - 1 dt
A segunda integral pode ser simplificada fazendo divisão polinomial:
t^3t - 1 = t^2 + t + 1 + 1t - 1
Então:
4 ( t^44 ) + 8 ( t^33 + t^22 + t + ln|t - 1| ) + C
= t^4 + 83 t^3 + 4 t^2 + 8 t + 8 ln|t - 1| + C

Passo 35

Voltando à variável original t^4 = x :
t^3 = raiz[4]x^3
t^2 = raizx
t = raiz[4]x
x + 83 raiz[4]x^3 + 4 raizx + 8 raiz[4]x + 8 ln|raiz[4]x - 1| + C
Então:

Passo 36

Décima primeira integral: . Vamos usar uma substituição trigonométrica ou uma substituição direta para simplificar.

Passo 37

Vamos fazer a substituição:
u = x^2 + 4
Então:
du = 2x dx
du2 = x dx

Passo 38

Substituindo na integral:
integral xraizx^2 + 4 dx = integral 1raizu cdot du2
= 12 integral u^-1/2 du
= 12 cdot 2u^1/2 + C
= raizu + C
= raizx^2 + 4 + C

Resposta

A integral de raizx^2 + 4 + C é:

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