Para as funções indicadas encontre a série de Fourier de ou de extendida na forma indicada.
d) Encontre a série de Fourier em cosenos de com período .
Passo 1
Então, temos que encontrar a série de Fourier em termos de cossenos para a função no intervalo , estendida com período . Para isso, vamos usar os conceitos de séries de Fourier, especialmente a série de Fourier em cossenos, que é útil para funções pares ou estendidas de forma par.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a série de Fourier em cossenos para uma função definida no intervalo e estendida parmente para com período é dada por:
Aqui, precisamos encontrar os coeficientes e .
Passo 3
Vamos começar calculando o coeficiente . A fórmula para é:
Substituindo :
Passo 4
Vamos resolver a integral:
Então:
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes . A fórmula é:
Substituindo :
Passo 6
Vamos separar a integral:
Calculamos cada parte separadamente.
Passo 7
Primeira integral:
Porque para todo inteiro .
Passo 8
Segunda integral:
Vamos usar integração por partes, onde:
Então,
Passo 9
Calculando os termos:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Passo 10
Substituindo de volta na expressão de :
Sabendo que :
Passo 11
Portanto, a série de Fourier em cossenos para é:
Resposta
A série de Fourier em cossenos de no intervalo com período é: