Para as funções dada abaixo, faça um esboço de seu gráfico e determine seu domínio e imagem:
f(x) = (x + 3) / (x + 2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente fazer o esboço do gráfico da função e determinar seu domínio e imagem. Isso está dentro do conteúdo de funções racionais na matemática. Para resolver, vamos precisar entender como essas funções se comportam, encontrar pontos importantes como assíntotas e interceptações, e então determinar os valores que e podem assumir.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de que a função pode aceitar sem causar problemas, como divisões por zero. Na nossa função , o denominador é . Não podemos ter o denominador igual a zero porque isso não é permitido na matemática (não dá para dividir por zero!).
Então, vamos resolver para encontrar onde a função não está definida:
Portanto, o domínio da função é todos os números reais exceto .

Passo 3

Agora, vamos para a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores que pode assumir. Para encontrar isso, é ��til reescrever a função de uma forma que facilite a visualização dos possíveis valores de .
Vamos dividir por :
Isso nos mostra que é igual a 1 mais uma fração que depende de . À medida que se aproxima de , cresce sem limite, o que significa que pode se aproximar de infinito positivo ou negativo. Fora esse ponto, como vai para mais ou menos infinito, se aproxima de 1. Portanto, pode assumir todos os valores reais exceto exatamente 1 não é possível?
Na verdade, ao reanalisar, como se aproxima de 1 mas nunca é exatamente 1, a imagem é todos os números reais exceto 1.

Passo 4

Vamos agora esboçar o gráfico da função . Para isso, identificamos alguns pontos-chave:
  1. Assíntota vertical: Encontrada onde o denominador é zero, que é em .
  2. Assíntota horizontal: Observamos que conforme tende ao infinito, se aproxima de 1, então a assíntota horizontal é .
  3. Interseção com o eixo : Para encontrar, basta calcular :
  1. Interseção com o eixo : Para encontrar, resolvemos :
Com esses pontos, podemos desenhar o gráfico:
  • A curva se aproxima da linha vertical e da horizontal .
  • Passa pelo ponto e intercepta o eixo em .

Resposta

Resumo:
  • Domínio: e .
  • Imagem: e .
  • Gráfico: Possui assíntota vertical em , assíntota horizontal em , intercepta o eixo em e o eixo em .

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Para as funções racionais dadas abaixo, faça um esboço de seu gráfico, determine seu maior domínio possível e imagem:
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Para as funções potência abaixo, faça um esboço de seu gráfico, determine seu maior domínio possível, imagem e se são pares, ímpares ou sem paridade definida.
f(x) = -x^0.4
Para as funções abaixo, determine a expressão da inversa, seu domínio e imagem.
f(x) = raiz(x^3 + 2)
Para as funções abaixo, determine a expressão da inversa, seu domínio e imagem.
f(x) = x^3 - 2