Para as funções dada abaixo, faça um esboço de seu gráfico e determine seu domínio e imagem:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente fazer o esboço do gráfico da função
e determinar seu domínio e imagem. Isso está dentro do conteúdo de funções racionais na matemática. Para resolver, vamos precisar entender como essas funções se comportam, encontrar pontos importantes como assíntotas e interceptações, e então determinar os valores que
e
podem assumir.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de
que a função pode aceitar sem causar problemas, como divisões por zero. Na nossa função
, o denominador é
. Não podemos ter o denominador igual a zero porque isso não é permitido na matemática (não dá para dividir por zero!).
Então, vamos resolver
para encontrar onde a função não está definida:
Portanto, o domínio da função é todos os números reais exceto
.
Passo 3
Agora, vamos para a imagem da função, que é o conjunto de todos os valores que
pode assumir. Para encontrar isso, é ��til reescrever a função de uma forma que facilite a visualização dos possíveis valores de
.
Vamos dividir
por
:
Isso nos mostra que
é igual a 1 mais uma fração que depende de
. À medida que
se aproxima de
,
cresce sem limite, o que significa que
pode se aproximar de infinito positivo ou negativo. Fora esse ponto, como
vai para mais ou menos infinito,
se aproxima de 1. Portanto,
pode assumir todos os valores reais exceto exatamente 1 não é possível?
Na verdade, ao reanalisar, como
se aproxima de 1 mas nunca é exatamente 1, a imagem é todos os números reais exceto 1.
Passo 4
Vamos agora esboçar o gráfico da função
. Para isso, identificamos alguns pontos-chave:
- Assíntota vertical: Encontrada onde o denominador é zero, que é em
. - Assíntota horizontal: Observamos que conforme
tende ao infinito, se aproxima de 1, então a assíntota horizontal é . - Interseção com o eixo
: Para encontrar, basta calcular :
- Interseção com o eixo
: Para encontrar, resolvemos :
Com esses pontos, podemos desenhar o gráfico:
- A curva se aproxima da linha vertical
e da horizontal . - Passa pelo ponto
e intercepta o eixo em .
Resposta
Resumo:
- Domínio:
e . - Imagem:
e . - Gráfico: Possui assíntota vertical em
, assíntota horizontal em , intercepta o eixo em e o eixo em .
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