As funções a seguir são analíticas em C. Verifique que elas satisfazem as equações de Cauchy-Riemann em todos os pontos do plano complexo.
b) f(z)=3 z^2+5 z-6 i

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a função satisfaz as Equações de Cauchy-Riemann em todos os pontos do plano complexo. Isso está dentro do assunto de funções analíticas em análise complexa. Para resolver isso, vamos precisar entender como separar a função em suas partes real e imaginária e aplicar as Equações de Cauchy-Riemann para ver se elas se sustentam em qualquer ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função f(z) = 3z^2 + 5z - 6i = 3(x + iy)^2 + 5(x + iy) - 6i em termos das partes real e imaginária. Lembre-se que 3(x + iy)^2 = 3(x^2 + 2ixy - y^2) = 3x^2 + 6ixy - 3y^2 pode ser escrito como 5(x + iy) = 5x + 5iy , onde f(z) = (3x^2 - 3y^2 + 5x) + i(6xy + 5y - 6) é a parte real e u(x, y) = 3x^2 - 3y^2 + 5x é a parte imaginária.
Então, substituindo na função:
v(x, y) = 6xy + 5y - 6
Agora, vamos expandir isso:
Juntando tudo:
Agora, identificamos as partes real e imaginária :

Passo 3

Com as funções partial upartial x = partial vpartial y e partial upartial y = -partial vpartial x definidas, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para as Equações de Cauchy-Riemann. As equações dizem que para a função ser analítica, as seguintes condições devem ser verdadeiras:
partial upartial x = partialpartial x(3x^2 - 3y^2 + 5x) = 6x + 5
partial upartial y = partialpartial y(3x^2 - 3y^2 + 5x) = -6y
Vamos calcular cada uma delas:
partial vpartial x = partialpartial x(6xy + 5y - 6) = 6y
partial vpartial y = partialpartial y(6xy + 5y - 6) = 6x + 5

Passo 4

Agora, vamos comparar as derivadas conforme as Equações de Cauchy-Riemann:
  1. e . Então, , que está certinho!
  2. e . Então, , também está perfeito!

Resposta

Como as Equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas em todos os pontos do plano complexo, a função é analítica em .

Exercícios relacionados

Determine os pontos nos quais a função indicada não será analítica.
a) f(z)=zz-3 i
Mostre que os limites abaixo não existem.
b) lim z 1 x+y-1z-1
Mostre que as funções abaixo são analíticas em domínios apropriados.
a) f(z)=e^x cos y+i e^x sen y
Calcule a função dada nos pontos indicados.
a) f(z)=(x+1+1 / x)+i(4 x^2-2 y^2-4)
(i) 1+i