As funções a seguir são analíticas em
. Verifique que elas satisfazem as equações de Cauchy-Riemann em todos os pontos do plano complexo.
b)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente verificar se a função
satisfaz as Equações de Cauchy-Riemann em todos os pontos do plano complexo. Isso está dentro do assunto de funções analíticas em análise complexa. Para resolver isso, vamos precisar entender como separar a função em suas partes real e imaginária e aplicar as Equações de Cauchy-Riemann para ver se elas se sustentam em qualquer ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
em termos das partes real e imaginária. Lembre-se que
pode ser escrito como
, onde
é a parte real e
é a parte imaginária.
Então, substituindo na função:
Agora, vamos expandir isso:
Juntando tudo:
Agora, identificamos as partes real
e imaginária
:
Passo 3
Com as funções
e
definidas, vamos calcular as derivadas parciais necessárias para as Equações de Cauchy-Riemann. As equações dizem que para a função ser analítica, as seguintes condições devem ser verdadeiras:
Vamos calcular cada uma delas:
Passo 4
Agora, vamos comparar as derivadas conforme as Equações de Cauchy-Riemann:
-
e . Então, , que está certinho! -
e . Então, , também está perfeito!
Resposta
Como as Equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas em todos os pontos do plano complexo, a função
é analítica em
.
Exercícios relacionados
Determine os pontos nos quais a função indicada não será analítica.
a)
a)
Mostre que os limites abaixo não existem.
b)
b)
Mostre que as funções abaixo são analíticas em domínios apropriados.
a)
a)
Calcule a função dada nos pontos indicados.
a)
(i)
a)
(i)