Mostre que os limites abaixo não existem.
b)
b)
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para mostrar que o limite
não existe. A gente vai usar conceitos de limites e analisar como a expressão se comporta conforme
se aproxima de 1. Para isso, vamos precisar entender como a função se comporta em diferentes caminhos de aproximação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para um limite existir, ele precisa ter o mesmo valor independente do caminho que escolhemos para nos aproximarmos do ponto em questão. Ou seja, se a gente obtiver resultados diferentes dependendo de como
se aproxima de 1, então o limite não existe.
Passo 3
Vamos considerar dois caminhos diferentes para
se aproximar de 1 e ver o que acontece com
:
Caminho 1:
e
são constantes quando
.
Suponha que
e
, onde
e
são constantes. Então, a expressão fica:
À medida que
se aproxima de 1, o denominador
tende a 0. Se
, a expressão tende a mais ou menos infinito, dependendo do sinal de
.
Caminho 2:
e
variam com
de forma que
, onde
é uma constante.
Aqui, a expressão fica:
Nesse caso, o limite é simplesmente
, que é uma constante finita.
Passo 4
Observamos que no Caminho 1, o limite tende a infinito (ou menos infinito), enquanto no Caminho 2, o limite é uma constante finita
. Como os limites são diferentes dependendo do caminho escolhido para se aproximar de
, isso significa que o limite geral não existe.
Resposta
Portanto,
não existe porque depende do caminho pelo qual
se aproxima de 1.
Exercícios relacionados
Expresse na forma a+ib
b) dividido por
b)
Nos itens abaixo, mostre que a função indicada não é analítica em nenhum lugar.
a)
a)
Determine os pontos nos quais a função indicada não será analítica.
a)
a)
As funções a seguir são analíticas em
. Verifique que elas satisfazem as equações de Cauchy-Riemann em todos os pontos do plano complexo.
b)
b)