Mostre que as funções abaixo são analíticas em domínios apropriados.
a)
a)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para mostrar que a função
é analítica em domínios apropriados. Isso envolve entender o que são funções analíticas, que são funções complexas diferenciáveis em todos os pontos de um domínio. Para resolver isso, vamos usar as equações de Cauchy-Riemann, que são essenciais para verificar se uma função é analítica.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a função
em suas partes reais e imaginárias. Sabemos que
, então:
Onde:
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas parciais de
e
com relação a
e
:
Passo 4
As equações de Cauchy-Riemann dizem que para a função ser analítica, devem ser satisfeitas as seguintes condições:
Vamos verificar isso:
Primeira condição:
Segunda condição:
Passo 5
Como ambas as condições das equações de Cauchy-Riemann são satisfeitas para todos os
e
, concluímos que a função
é analítica em todo o plano complexo.
Resposta
A função
é analítica em todo o domínio dos números complexos.
Exercícios relacionados
As funções a seguir são analíticas em
. Verifique que elas satisfazem as equações de Cauchy-Riemann em todos os pontos do plano complexo.
b)
b)
Determine os pontos nos quais a função indicada não será analítica.
a)
a)
Calcule a função dada nos pontos indicados.
a)
(i)
a)
(i)
Expresse a função indicada na forma
.
a)
a)