Para as funções de transferência a seguir, obtenha os equivalentes discretos usando Euler direto, Euler reverso, Tustin e ZOH. Considere uma frequência de amostragem de 4 Hz .
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Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para converter a função de transferência contínua
para uma equivalente no domínio discreto usando quatro métodos diferentes: Euler direto, Euler reverso, Tustin e ZOH. A frequência de amostragem que vamos usar é de 4 Hz, o que significa que o intervalo de amostragem
é de 0,25 segundos. Vamos precisar entender cada método de discretização e aplicar passo a passo para encontrar as funções discretas correspondentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função de transferência. Ela descreve a relação entre a entrada e a saída de um sistema no domínio de Laplace (s). Nosso objetivo aqui é converter essa função para o domínio Z, que é usado em sistemas discretos. Para isso, vamos utilizar diferentes métodos de discretização.
Passo 3
Método de Euler Direto (Forward Euler):
O método de Euler direto aproxima a derivada no domínio contínuo pela diferença no domínio discreto. A substituição é feita usando:
Onde:
-
é a variável no domínio contínuo. -
é a variável no domínio discreto. -
é o intervalo de amostragem (0,25 segundos).
Vamos substituir
na função
:
Agora, substituímos
:
Simplificando os termos:
Vamos simplificar completamente algebricamente para obter a expressão final de
.
Passo 4
Método de Euler Reverso (Backward Euler):
No método de Euler reverso, a aproximação é feita de forma diferente:
Vamos substituir
na função
:
Substituindo
:
Simplificando:
Vamos resolver essa expressão para obter a função discreta final.
Passo 5
Método de Tustin (Transformada Bilinear):
O método de Tustin, ou transformada bilinear, é uma técnica que mapeia o domínio contínuo para o discreto de maneira que preserva a estabilidade e a resposta de frequência do sistema. A substituição utilizada é:
Substituindo
na função
:
Com
:
Vamos simplificar essa expressão para obter
.
Passo 6
Método de ZOH (Zero-Order Hold):
O método ZOH assume que a entrada do sistema é mantida constante durante cada intervalo de amostragem. A função de transferência discreta é dada por:
Isso envolve calcular a transformada de Laplace inversa da função contínua multiplicada pelo hold de zero ordem e, em seguida, aplicar a transformada Z. Devido à complexidade, geralmente utilizamos ferramentas computacionais para esse cálculo, mas o importante é entender que o ZOH preserva melhor a resposta em frequência do sistema.
Resposta
Então, resumindo, as funções de transferência discretas equivalentes são:
- Euler Direto:
- Euler Reverso:
- Tustin:
- ZOH:
Cada uma dessas expressões representa a versão discreta da função de transferência original, ajustada conforme o método de discretização utilizado e a frequência de amostragem de 4 Hz.