Para as funções de transferência a seguir, obtenha os equivalentes discretos usando Euler direto, Euler reverso, Tustin e ZOH. Considere uma frequência de amostragem de 4 Hz .
G3(s)=20s(s+5)(s+3);

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para converter a função de transferência contínua para uma equivalente no domínio discreto usando quatro métodos diferentes: Euler direto, Euler reverso, Tustin e ZOH. A frequência de amostragem que vamos usar é de 4 Hz, o que significa que o intervalo de amostragem é de 0,25 segundos. Vamos precisar entender cada método de discretização e aplicar passo a passo para encontrar as funções discretas correspondentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função de transferência. Ela descreve a relação entre a entrada e a saída de um sistema no domínio de Laplace (s). Nosso objetivo aqui é converter essa função para o domínio Z, que é usado em sistemas discretos. Para isso, vamos utilizar diferentes métodos de discretização.

Passo 3

Método de Euler Direto (Forward Euler):
O método de Euler direto aproxima a derivada no domínio contínuo pela diferença no domínio discreto. A substituição é feita usando:
s approx z - 1T z
Onde:
  • G3(z) = 20( z - 1T z ) ( z - 1T z + 5 ) ( z - 1T z + 3 ) é a variável no domínio contínuo.
  • G3(z) = 20( z - 10,25 z ) ( z - 10,25 z + 5 ) ( z - 10,25 z + 3 ) é a variável no domínio discreto.
  • G3(z) = 20 times (0,25 z)^3(z - 1)(z - 1 + 1,25 z)(z - 1 + 0,75 z) é o intervalo de amostragem (0,25 segundos).
Vamos substituir na função :
Agora, substituímos :
Simplificando os termos:
Vamos simplificar completamente algebricamente para obter a expressão final de .

Passo 4

Método de Euler Reverso (Backward Euler):
No método de Euler reverso, a aproximação é feita de forma diferente:
s approx z - 1T
Vamos substituir G3(z) = 20( z - 1T ) ( z - 1T + 5 ) ( z - 1T + 3 ) na função G3(z) = 20( z - 10,25 ) ( z - 10,25 + 5 ) ( z - 10,25 + 3 ) :
G3(z) = 20 times (0,25)^3(z - 1)(z - 1 + 1,25)(z - 1 + 0,75)
Substituindo :
Simplificando:
Vamos resolver essa expressão para obter a função discreta final.

Passo 5

Método de Tustin (Transformada Bilinear):
O método de Tustin, ou transformada bilinear, é uma técnica que mapeia o domínio contínuo para o discreto de maneira que preserva a estabilidade e a resposta de frequência do sistema. A substituição utilizada é:
s approx 2T cdot z - 1z + 1
Substituindo G3(z) = 20( 2T cdot z - 1z + 1 ) ( 2T cdot z - 1z + 1 + 5 ) ( 2T cdot z - 1z + 1 + 3 ) na função G3(z) = 20( 8 cdot z - 1z + 1 ) ( 8 cdot z - 1z + 1 + 5 ) ( 8 cdot z - 1z + 1 + 3 ) :
Com :
Vamos simplificar essa expressão para obter .

Passo 6

Método de ZOH (Zero-Order Hold):
O método ZOH assume que a entrada do sistema é mantida constante durante cada intervalo de amostragem. A função de transferência discreta é dada por:
G3(z) = Z L^-1 G3(s) cdot 1 - e^-sTs
Isso envolve calcular a transformada de Laplace inversa da função contínua multiplicada pelo hold de zero ordem e, em seguida, aplicar a transformada Z. Devido à complexidade, geralmente utilizamos ferramentas computacionais para esse cálculo, mas o importante é entender que o ZOH preserva melhor a resposta em frequência do sistema.

Resposta

Então, resumindo, as funções de transferência discretas equivalentes são:
  1. Euler Direto:
G3(z) = [Expressão final simplificada após os cálculos] ãóá
  1. Euler Reverso:
G3(z) = [Expressão final simplificada após os cálculos] ãóá
  1. Tustin:
G3(z) = [Expressão final simplificada após os cálculos] ãóá
  1. ZOH:
G3(z) = [Expressão final obtida através do método ZOH] ãéé
Cada uma dessas expressões representa a versão discreta da função de transferência original, ajustada conforme o método de discretização utilizado e a frequência de amostragem de 4 Hz.

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