Obtenha a Transformada Z inversa das seguintes funções: F2(z)=z(z-1)z^2-1.25 z+0.25;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a Transformada Z inversa da função . Isso está relacionado ao conteúdo de Transformada Z na área de Sinais e Sistemas. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador, simplificar a fração e aplicar as propriedades da Transformada Z inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador z = 1.25 pm raiz(1.25)^2 - 4 cdot 1 cdot 0.252 . Para isso, usamos a fórmula quadrática:
raiz1.5625 - 1 = raiz0.5625 = 0.75
Calculando o discriminante:
z = 1.25 + 0.752 = 1 e z = 1.25 - 0.752 = 0.25
Então, as raízes são:
z^2-1.25 z+0.25 = (z - 1)(z - 0.25)
Portanto, o denominador fatorado fica:

Passo 3

Agora, vamos simplificar a função F2(z) = z(z-1)(z - 1)(z - 0.25) = zz - 0.25 :
Observe que o termo cancelou.

Passo 4

Para encontrar a Transformada Z inversa, reconhecemos que:
F(z) = zz - 0.25 = 11 - 0.25z = 11 - a z^-1 com a = 0.25
Essa forma corresponde à Série Geométrica na Transformada Z, onde a Transformada Z inversa é dada por:
x[n] = a^n u[n]

Passo 5

Aplicando a fórmula acima com x[n] = (0.25)^n u[n] , temos:
Aqui, é a função degrau unitário, que garante que seja definido para .

Resposta

A Transformada Z inversa é .

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