Obtenha a Transformada Z inversa das seguintes funções:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a Transformada Z inversa da função
. Isso está relacionado ao conteúdo de Transformada Z na área de Sinais e Sistemas. Para resolver isso, vamos precisar fatorar o denominador, simplificar a fração e aplicar as propriedades da Transformada Z inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Para isso, usamos a fórmula quadrática:
Calculando o discriminante:
Então, as raízes são:
Portanto, o denominador fatorado fica:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a função
:
Observe que o termo
cancelou.
Passo 4
Para encontrar a Transformada Z inversa, reconhecemos que:
Essa forma corresponde à Série Geométrica na Transformada Z, onde a Transformada Z inversa é dada por:
Passo 5
Aplicando a fórmula acima com
, temos:
Aqui,
é a função degrau unitário, que garante que
seja definido para
.
Resposta
A Transformada Z inversa é
.