Obtenha a Transformada Z inversa das seguintes funções:
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar a Transformada Z inversa da função
. Isso está relacionado ao estudo de sinais e sistemas na área de processamento de sinais digitais. Para resolver, vamos precisar entender como aplicar a Transformada Z inversa usando séries de potências e propriedades básicas da Transformada Z.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função
de uma forma que seja mais fácil de trabalhar. Observando
, podemos multiplicar o numerador e o denominador por
para eliminar os termos negativos no expoente:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a Transformada Z inversa dessa função. Lembre-se que a Transformada Z inversa converte uma função no domínio de
de volta para uma sequência discreta no tempo, geralmente representada por
.
Uma estratégia comum é expandir a função
em uma série de potências de
, que nos permite identificar os coeficientes diretamente como os termos da sequência no tempo.
Vamos reescrever
novamente:
Perceba que isso se assemelha à soma de uma série geométrica, onde
, desde que
.
Passo 4
Comparando com a forma da série geométrica, identificamos que
. Portanto, podemos expandir
como:
Passo 5
A Transformada Z inversa nos diz que cada termo
na expansão corresponde a um impulso em
no instante
. Portanto, a sequência no tempo é:
Ou seja, a sequência é 1 nos instantes
e 0 nos demais instantes.
Resposta
A Transformada Z inversa de
é a sequência: