Considere a função f(x)=x sen(2 x).
Escolha a opção que determina a série de Maclaurin da sua derivada f^prime(x).
a. sumn=0^infty(-1)^n 2^2 n+1(2 n+2) x^2 n+1(2 n)!
b. sumn=0^infty(-1)^n 2^2 n(2 n+1) x^2 n(2 n)!
c. sumn=0^infty(-1)^n 2^2 n+1(2 n+2) x^2 n+1(2 n+1)!
d. sumn=0^infty(-1)^n 2^2 n(2 n+1) x^2 n(2 n+1)!

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos pede para considerar a função e escolher a opção que representa a série de Maclaurin da sua derivada . Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas e como expandir funções em séries de Maclaurin.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função f^prime(x) = ddx [x cdot sen(2x)] = sen(2x) + x cdot ddx [sen(2x)] . Usamos a regra do produto para derivar :

Passo 3

Calculando a derivada de :
Então, a derivada fica:

Passo 4

Agora, precisamos expandir e sen(y) = sumn=0^infty (-1)^n cdot y^2n+1(2n+1)! em séries de Maclaurin. As séries de Maclaurin para seno e cosseno são:
cos(y) = sumn=0^infty (-1)^n cdot y^2n(2n)!

Passo 5

Substituindo sen(2x) = sumn=0^infty (-1)^n cdot (2x)^2n+1(2n+1)! = sumn=0^infty (-1)^n cdot 2^2n+1 cdot x^2n+1(2n+1)! nas séries:
cos(2x) = sumn=0^infty (-1)^n cdot (2x)^2n(2n)! = sumn=0^infty (-1)^n cdot 2^2n cdot x^2n(2n)!

Passo 6

Substituindo as séries na expressão de f^prime(x) = sen(2x) + 2x cdot cos(2x) = sumn=0^infty (-1)^n cdot 2^2n+1 cdot x^2n+1(2n+1)! + 2x cdot sumn=0^infty (-1)^n cdot 2^2n cdot x^2n(2n)! :
Simplificando a segunda soma:
2x cdot cos(2x) = sumn=0^infty (-1)^n cdot 2^2n+1 cdot x^2n+1(2n)!
Agora, unindo as duas somas:
f^prime(x) = sumn=0^infty (-1)^n cdot 2^2n+1 cdot x^2n+1 ( 1(2n+1)! + 1(2n)! )
Simplificando os termos dentro do parênteses:
1(2n+1)! + 1(2n)! = 2n+1 + 1(2n+1)! = 2n+2(2n+1)!
Portanto:
f^prime(x) = sumn=0^infty (-1)^n cdot 2^2n+1 cdot (2n+2) cdot x^2n+1(2n)!

Resposta

A opção correta é a letra a:
sumn=0^infty (-1)^n cdot 2^2n+1 cdot (2n+2) cdot x^2n+1(2n)!

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