Considere a função .
Escolha a opção que determina a série de Maclaurin da sua derivada .
a.
b.
c.
d.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado nos pede para considerar a função e escolher a opção que representa a série de Maclaurin da sua derivada . Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas e como expandir funções em séries de Maclaurin.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . Usamos a regra do produto para derivar :

Passo 3

Calculando a derivada de :
Então, a derivada fica:

Passo 4

Agora, precisamos expandir e em séries de Maclaurin. As séries de Maclaurin para seno e cosseno são:

Passo 5

Substituindo nas séries:

Passo 6

Substituindo as séries na expressão de :
Simplificando a segunda soma:
Agora, unindo as duas somas:
Simplificando os termos dentro do parênteses:
Portanto:

Resposta

A opção correta é a letra a:

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Considere a função
b) A função é contínua em ? Justifique sua resposta. (1.0 ponto)
Seja
a) Determine o domínio de . (0.5 ponto)
Para as funções u abaixo, verifique que a conclusão do Teorema de Clairaut é válida, isto é, que .