Um fundo de investimento disponibiliza números inteiros de cotas aos interessados nessa aplicação financeira. No primeiro dia de negociação desse fundo, verifica-se que 5 investidores compraram cotas, e que foi vendido um total de 9 cotas. Em tais condições, o número de maneiras diferentes de alocação das 9 cotas entre os 5 investidores é igual a?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um fundo de investimento que vendeu 9 cotas para 5 investidores no primeiro dia. Queremos saber de quantas maneiras diferentes essas 9 cotas podem ser distribuídas entre os 5 investidores.
Vamos precisar usar um conceito da combinatória, especificamente o método de combinação com repetição, que nos ajuda a encontrar o número de maneiras de distribuir itens indistinguíveis (as cotas) para diferentes categorias (os investidores).

Passo 2

Primeiro, vamos pensar em como distribuir essas cotas. Imagine que as 9 cotas são iguais e queremos dividí-las entre 5 investidores. Cada investidor pode receber qualquer número de cotas, incluindo nenhuma.
Para resolver isso, usamos a fórmula de combinação com repetição, que é:
C(n + k - 1, k - 1)
Onde:
  • $ n $ é o número de itens a serem distribuídos (no caso, 9 cotas).
  • $ k $ é o número de categorias ou grupos (no caso, 5 investidores).

Passo 3

Aplicando os valores na fórmula:
C(9 + 5 - 1, 5 - 1) = C(13, 4)
Agora, precisamos calcular o valor de $ C(13, 4) $. A combinação $ C(n, k) $ é calculada por:
C(13, 4)
Então, substituindo:
C(n, k)

Passo 4

Vamos simplificar o cálculo:
13!4! cdot 9! = 13 times 12 times 11 times 10 times 9!4! times 9! = 13 times 12 times 11 times 104!
Sabemos que $ 4! = 24 $, então:
4! = 24

Resposta

Existem 715 maneiras diferentes de alocar as 9 cotas entre os 5 investidores.

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