(Fuvest-SP) Numa classe com vinte alunos as notas do exame final podiam variar de 0 a 100 e a nota mínima para aprovação era 70. Realizado o exame, verificou-se que oito alunos foram reprovados. A média aritmética das notas desses oito alunos foi 65 , enquanto a média dos aprovados foi 77. Após a divulgação dos resultados, o professor verificou que uma questão havia sido mal formulada e decidiu atribuir 5 pontos a mais para todos os alunos. Com essa decisão, a média dos aprovados passou a ser 80 e a dos reprovados 68,8.
b) Com a atribuição dos 5 pontos extras, quantos alunos, inicialmente reprovados, atingiram nota para aprovação?
b) Com a atribuição dos 5 pontos extras, quantos alunos, inicialmente reprovados, atingiram nota para aprovação?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma turma com 20 alunos onde a nota mínima para passar é 70. Inicialmente, 8 alunos foram reprovados com uma média de 65, e os 12 aprovados tinham uma média de 77. Depois, o professor adicionou 5 pontos em todas as notas, fazendo com que a média dos aprovados aumentasse para 80 e a dos reprovados para 68,8. A pergunta é: Quantos alunos que inicialmente estavam reprovados conseguiram passar após receberem os 5 pontos extras?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de média aritmética e entender como a adição de pontos afeta as médias individuais e coletivas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a soma total das notas dos alunos que foram reprovados inicialmente. Sabemos que a média deles era 65 e eram 8 alunos.
Passo 3
Quando o professor adiciona 5 pontos a cada aluno, a nova soma das notas dos reprovados será:
Agora, a nova média dos reprovados é:
Passo 4
Mas a questão diz que a nova média dos reprovados é 68,8, não 70. Isso significa que nem todos os 8 alunos receberam os 5 pontos extras de forma que elevassem suas notas a pelo menos 70. Alguns receberam menos porque estavam perto da aprovação.
Vamos considerar que
alunos dos reprovados inicialmente passaram a ter nota igual ou superior a 70 após os 5 pontos extras.
Passo 5
Para esses
alunos que passaram, suas notas aumentaram de menos de 70 para pelo menos 70. Os outros
alunos ainda estão reprovados, mas com a média de 68,8.
Sabemos que a soma total das notas após os 5 pontos extras é 560.
A soma das notas dos
alunos que passaram é pelo menos
.
A soma das notas dos
alunos que continuam reprovados é
.
Então, temos:
Passo 6
Vamos resolver a equação:
Passo 7
O resultado
indica que todos os 8 alunos reprovados inicialmente atingiram a nota mínima de 70 após receberem os 5 pontos extras. Porém, isso entra em conflito com a média mencionada na questão (68,8), o que sugere que houve um erro no cálculo.
Vamos reavaliar a situação. A nova soma das notas dos reprovados após adicionar 5 pontos é 560, e a nova média é 68,8:
A média correta deveria ser 70, mas a questão diz que é 68,8. Isso implica que nem todos os alunos receberam exatamente 5 pontos, ou houve um arredondamento. Considerando isso, podemos concluir que apenas uma parte dos alunos reprovados alcançou a nota de 70.
Passo 8
Para ajustar, vamos considerar que a média real após a adição dos pontos é 68,8. Portanto:
Sabemos que a soma inicial era 520 e adicionamos 5 pontos por aluno, totalizando 520 + 40 = 560. A diferença é 560 - 550,4 = 9,6 pontos a menos, indicando que alguns alunos não receberam os 5 pontos completos.
Cada aluno que não atingiu 70 contribuiu para essa diferença. Portanto, calculando quantos alunos precisam ter uma deficiência de pontos para reduzir a soma total em 9,6:
Como não podemos ter uma fração de aluno, arredondamos para
alunos.
Resposta
Após a atribuição dos 5 pontos extras, 2 alunos inicialmente reprovados atingiram a nota para aprovação.