(FUVEST-SP) Sendo
f(x)=(4^x + 4^{-x})/2 e g(x)=(4^x - 4^{-x})/2
calcule o valor de [f(x)]^2 - [g(x)]^2.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular o valor de [f(x)]^2 - [g(x)]^2, onde as funções são dadas por:
Neste problema, vamos utilizar conhecimentos de álgebra, especialmente sobre potências e identidades algébricas, para simplificar e encontrar o valor solicitado.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a expressão [f(x)]^2 - [g(x)]^2 substituindo f(x) e g(x) pelas suas definições:

Passo 3

Agora, vamos expandir os quadrados das frações. Lembrando que e , temos:

Passo 4

Subtraindo as duas expressões:

Passo 5

Simplificando a expressão, percebemos que e se cancelam:

Passo 6

Calculando , lembramos que . Assim:
Portanto:

Resposta

O valor de [f(x)]^2 - [g(x)]^2 é igual a 1.

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