(g) (15 pontos) Mostre que não é um homomorfismo de em .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função e precisamos mostrar que ela não é um homomorfismo entre os conjuntos e . Isso envolve conceitos de álgebra abstrata, especificamente sobre homomorfismos de grupos. Para resolver, vamos lembrar o que é um homomorfismo e verificar se satisfaz as condições necessárias.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um homomorfismo. Em álgebra, um homomorfismo entre dois grupos (ou estruturas algébricas similares) é uma função que preserva a operação do grupo. Isso significa que, se temos grupos e , uma função é um homomorfismo se, para todo , a seguinte condição é satisfeita:
Ou seja, aplicar a operação em e depois aplicar deve dar o mesmo resultado que aplicar em cada elemento primeiro e depois aplicar a operação em .
Passo 3
No nosso caso, precisamos identificar quais são as operações e nos conjuntos e respectivamente. Supondo que seja a operação de adição vetorial padrão e seja a operação de produto (já que com multiplicação não inclui o vetor nulo), temos:
Agora, vamos verificar se preserva essas operações.
Passo 4
Vamos aplicar a condição de homomorfismo:
Por outro lado:
Para ser um homomorfismo, precisaríamos que:
Isso deve ser verdadeiro para todos em .
Passo 5
Vamos verificar se a igualdade acima sempre se sustenta. Por exemplo, considere :
Claramente, , o que viola a condição de homomorfismo.
Passo 6
Como mostramos que existe pelo menos um caso onde , podemos concluir que não preserva a operação entre os conjuntos dados.
Resposta
Portanto, a função não é um homomorfismo de em porque não preserva a operação definida entre os conjuntos.