(g) (15 pontos) Mostre que f(x, y)=(y, x) não é um homomorfismo de (R^2, *) em (R^2 backslash(0,0), De.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função e precisamos mostrar que ela não é um homomorfismo entre os conjuntos e . Isso envolve conceitos de álgebra abstrata, especificamente sobre homomorfismos de grupos. Para resolver, vamos lembrar o que é um homomorfismo e verificar se satisfaz as condições necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um homomorfismo. Em álgebra, um homomorfismo entre dois grupos (ou estruturas algébricas similares) é uma função que preserva a operação do grupo. Isso significa que, se temos grupos f(a ast b) = f(a) diamond f(b) e , uma função é um homomorfismo se, para todo , a seguinte condição é satisfeita:
Ou seja, aplicar a operação em e depois aplicar deve dar o mesmo resultado que aplicar em cada elemento primeiro e depois aplicar a operação em .

Passo 3

No nosso caso, precisamos identificar quais são as operações (x1, y1) * (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) e (x1, y1) De nos conjuntos e respectivamente. Supondo que seja a operação de adição vetorial padrão e seja a operação de produto (já que com multiplicação não inclui o vetor nulo), temos:
Agora, vamos verificar se preserva essas operações.

Passo 4

Vamos aplicar a condição de homomorfismo:
f( (x1, y1) * (x2, y2) ) = f(x1 + x2, y1 + y2) = (y1 + y2, x1 + x2)
Por outro lado:
f(x1, y1) De
Para (y1 + y2, x1 + x2) = (y1 y2, x1 x2) ser um homomorfismo, precisaríamos que:
Isso deve ser verdadeiro para todos em .

Passo 5

Vamos verificar se a igualdade acima sempre se sustenta. Por exemplo, considere f((1,1) * (1,1)) = f(2,2) = (2,2) :
f(1,1) De
Claramente, , o que viola a condição de homomorfismo.

Passo 6

Como mostramos que existe pelo menos um caso onde , podemos concluir que não preserva a operação entre os conjuntos dados.

Resposta

Portanto, a função não é um homomorfismo de em porque não preserva a operação definida entre os conjuntos.

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