(15 pontos) Resolva o sistema de equações no Anel Z13 :
c 2 x+3 y=5 6 x+y=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações no anel Z13. Isso significa que todas as operações vão ser feitas com restos da divisão por 13. Para resolver, vamos precisar usar um pouco de álgebra modular, tipo o que a gente faz quando resolve equações com restos. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever o sistema para facilitar:
2x + 3y equiv 5 pmod13 6x + y equiv 1 pmod13

Passo 3

Vamos tentar isolar uma das variáveis em uma das equações. Vou escolher a segunda equação para isolar o y:
6x + y equiv 1 pmod13
Subtraindo 6x de ambos os lados:
y equiv 1 - 6x pmod13

Passo 4

Agora que temos y em termos de x, vamos substituir essa expressão na primeira equação:
2x + 3y equiv 5 pmod13
Substituindo y:
2x + 3(1 - 6x) equiv 5 pmod13

Passo 5

Vamos simplificar a equação:
2x + 3 - 18x equiv 5 pmod13 (2x - 18x) + 3 equiv 5 pmod13 -16x + 3 equiv 5 pmod13
Para facilitar, vamos tirar o negativo e lembrar que -16 equiv (-16) mod13 = (-16 + 13) = -3, e -3 + 13 = 10, então -16 equiv 10 pmod13.
Então:
10x + 3 equiv 5 pmod13

Passo 6

Agora, subtraímos 3 de ambos os lados:
10x equiv 5 - 3 pmod13 10x equiv 2 pmod13

Passo 7

Vamos resolver para x. Precisamos encontrar o inverso de 10 modulo 13. O inverso de 10 é o número que multiplicado por 10 dá 1 modulo 13.
Testando:
10 times 4 = 40 equiv 1 pmod13 (pois 40 - 3 times 13 = 1)
Então, o inverso de 10 é 4.
Multiplicando ambos os lados da equação por 4:
4 times 10x equiv 4 times 2 pmod13 40x equiv 8 pmod13 x equiv 8 pmod13 (pois 40 equiv 1 pmod13)

Passo 8

Agora que temos x equiv 8 pmod13, vamos encontrar y usando a expressão que encontramos antes:
y equiv 1 - 6x pmod13 y equiv 1 - 6 times 8 pmod13 y equiv 1 - 48 pmod13
Simplificando -48 pmod13:
-48 + 4 times 13 = -48 + 52 = 4
Então:
y equiv 1 + 4 pmod13 y equiv 5 pmod13

Resposta

A solução do sistema no anel Z13 é x equiv 8 e y equiv 5.

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