(15 pontos) Resolva o sistema de equações no Anel :
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações no anel . Isso significa que todas as operações vão ser feitas com restos da divisão por 13. Para resolver, vamos precisar usar um pouco de álgebra modular, tipo o que a gente faz quando resolve equações com restos. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o sistema para facilitar:
Passo 3
Vamos tentar isolar uma das variáveis em uma das equações. Vou escolher a segunda equação para isolar o :
Subtraindo de ambos os lados:
Passo 4
Agora que temos em termos de , vamos substituir essa expressão na primeira equação:
Substituindo :
Passo 5
Vamos simplificar a equação:
Para facilitar, vamos tirar o negativo e lembrar que , e , então .
Então:
Passo 6
Agora, subtraímos 3 de ambos os lados:
Passo 7
Vamos resolver para . Precisamos encontrar o inverso de 10 modulo 13. O inverso de 10 é o número que multiplicado por 10 dá 1 modulo 13.
Testando:
Então, o inverso de 10 é 4.
Multiplicando ambos os lados da equação por 4:
Passo 8
Agora que temos , vamos encontrar usando a expressão que encontramos antes: