Prove que o vetor cujos pontos iniciais não estão na origem é:
P1 P2=(x2-x1, y2-y1)
Onde, o ponto inicial P1(x1, y1) e ponto final P2(x2, y2). (Fazer a figura).
Qual seria a fórmula para um vetor no espaço tridimensional?

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre vetores no plano e no espaço tridimensional. O enunciado nos pede para provar que o vetor que liga dois pontos e é dado por . Além disso, precisamos estender essa ideia para o espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar entender o que é um vetor, como calcular suas componentes e como generalizar para mais dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um vetor. Um vetor é uma entidade que possui magnitude (tamanho) e direção. No plano, ele pode ser representado por um segmento de reta com uma seta indicando a direção.

Passo 3

Para encontrar as componentes de um vetor que liga dois pontos, e , consideramos a diferença das coordenadas correspondentes. Isso porque o vetor representa a deslocação de para .

Passo 4

Calculando as componentes:
  • A componente no eixo x é P1P2 = (x2 - x1, y2 - y1) .
  • A componente no eixo y é .
Portanto, o vetor é dado por:

Passo 5

Agora, para estender isso ao espaço tridimensional, precisamos considerar também a coordenada no eixo z. Suponha que os pontos sejam e .

Passo 6

As componentes do vetor serão então:
  • No eixo x: .
  • No eixo y: .
  • No eixo z: .

Resposta

A fórmula para um vetor no espaço tridimensional é:
P1P2 = (x2 - x1,, y2 - y1,, z2 - z1)

Exercícios relacionados

Mostre que, se V=U oplus W e Bu=u1, u2, cdots, uk é uma base de U e Bw= w1, w2, cdots, wr é uma base de W então B=u1, u2, cdots, uk, w1, w2, cdots, wr é uma base para V.
(g) (15 pontos) Mostre que f(x, y)=(y, x) não é um homomorfismo de (R^2, *) em (R^2 backslash(0,0), De.
Utilize os axiomas do espaço vetorial V para provar que, se v in V e n in N então n cdot v=v+ldots+v(n parcelas ).
Use a Regra de Cramer, para resolver o sistema linear
[c 2 x+5 y+5 z=1 -x-y=2 2 x+4 y+3 z=-1 ]