Prove que o vetor cujos pontos iniciais não estão na origem é:
Onde, o ponto inicial P1(x1, y1) e ponto final P2(x2, y2). (Fazer a figura).
Qual seria a fórmula para um vetor no espaço tridimensional?
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre vetores no plano e no espaço tridimensional. O enunciado nos pede para provar que o vetor que liga dois pontos e é dado por . Além disso, precisamos estender essa ideia para o espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar entender o que é um vetor, como calcular suas componentes e como generalizar para mais dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um vetor. Um vetor é uma entidade que possui magnitude (tamanho) e direção. No plano, ele pode ser representado por um segmento de reta com uma seta indicando a direção.
Passo 3
Para encontrar as componentes de um vetor que liga dois pontos, e , consideramos a diferença das coordenadas correspondentes. Isso porque o vetor representa a deslocação de para .
Passo 4
Calculando as componentes:
A componente no eixo x é P1P2 = (x2 - x1, y2 - y1) .
A componente no eixo y é .
Portanto, o vetor é dado por:
Passo 5
Agora, para estender isso ao espaço tridimensional, precisamos considerar também a coordenada no eixo z. Suponha que os pontos sejam e .
Passo 6
As componentes do vetor serão então:
No eixo x: .
No eixo y: .
No eixo z: .
Resposta
A fórmula para um vetor no espaço tridimensional é: